空间的距离
中学教书时间长了，一拿到解析几何，似乎只能想起距离和角度，角度和距离……
今天先聊距离吧。
1、空间两个点的距离
无需多说，简单易懂。设点
，则
2、空间点到直线的距离
看起来很简单，其实特别特别麻烦，真的，不骗你。你要是不怕麻烦，我就举个例子一起算算。要是怕麻烦，请运动手指划过这一部分内容。
例、求点
到直线
的距离。
解法一、直接过点M作直线的垂线，垂足为P，则PM就是点M到直线的距离
面
的法向量为
面
的法向量为
所以，直线的方向向量为(3,3,2)。（此处略去草稿若干行）
所以，过点M且垂直于直线的面
的法向量为(3,3,2)
设平面
的方程为
代入点M(1,-1,0)得D=0
所以平面
的方程为
则直线与面
的交点P为
解得
（此处亦省略草稿若干行）
所以，点M到直线的距离为
解法二：点M到直线的距离=点M到直线上点的距离的最小值
由
得
设直线上的点为
则
当
时，
这个方法还算比较好啦，至少不会让我算得发疯。
解法三：设直线的方向向量为
，如果P为直线上的点，则距离
取直线
上的点P(0,0,-1)，已知M(1,-1,0)则
由解法一知直线的方向向量为
则
此法充分利用了向量，属于比较高档的解法了吧。
3、点到面的距离
前面已经写过一次推文，代公式即可
4、两平行线间的距离
很简单啦，直接化归成点到直线的距离即可。呵呵呵
5、异面直线间的距离
异面直线
和
间的距离，我们可以这样求。
过
上任一点作
的平行线
，
和
确定一个平面α
则异面直线
和
间的距离
=直线
和平面α间的距离
=直线
上任一点和平面α间的距离
例、已知两直线
，求异面直线
和
间的距离。
解：由已知直线
的方向向量
直线
的方向向量
所以过
且与
平行的平面α的法向量为
取直线
上的点（0，0，-1），
上的点（1，1，1）则
平面α的方程为z-1=0
异面直线
和
间的距离
说起点到平面的距离，我想起高中学过的一个公式。
若点P为平面外一点，点Q为平面内一点，则点P到平面的距离
那么，我们也可以利用这个公式来改进本题的解法。
解法二：由已知直线
的方向向量
直线
的方向向量
所以过
且与
平行的平面α的法向量为
取直线
上的点P（0，0，-1），
上的点Q（1，1，1）则
异面直线
和
间的距离
表面上看只是省略了一个求面的方程的步骤，实际上是完全不同的思路。
练习：求异面直线
间的距离。
答案：
