这个问题其实挺简单,先看牛顿-莱布尼茨公式:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(1)

图1

注意到积分上限是x。

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(2)

注意到求导以后得出的函数的自变量是原函数的积分上限。

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(3)

图2

把图1的原函数变成图2中的二维概率分布函数,注意到二重积分的上限是x,y,所以:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(4)

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(5)

再看看边缘分布函数:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(6)

图3

注意到图3中的积分限,外部上限是x,而内部积分限是整个区域,这就是x的边缘分布的含义:x是一个区域,而y是整个定义域。

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(7)

如上图,这个队列一共10排15列,Fx表示的意思就类似于:当x=1时,表示第一排有15人,等于2时表示前两排有30人,等等,x是一个变量,而y是对于全部的列。

当对图3求一次导数后,得到边缘概率密度:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(8)

注意,这里的x是一个固定的值,就像任何函数f(x)一样,表示的都是x是一个固定值的时候对应的函数值。这个结果只要把图3中的积分函数看作是

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(9)

按照牛顿莱布尼茨公式的方法就可以理解了。

同理得到:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(10)

按照牛顿莱布尼茨公式的方法就可以理解了。

同理得到:

分布函数的导数是密度函数(二维概率密度fxy)(11)

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