这是百度上看到的天津中考数学模拟几何题，老师说全班全军覆没。越是难题越令人兴奋，于是做了一下。
△ABC是直角三角形，D是BC上一点，AB=12，AD=13，∠CAD=45°，求CD长。
先用三角函数做一下，很快可以得出结果。
显然BD=5。设∠BAD=α，CD=x。我们有：
tanα=5/12，①
tan(45° α)=(x 5)/12，即
(1 tanα)/(1-tanα)=(x 5)/12。②
①代入②得：
17/7=(x 5)12，解得x=169/7。
天津中考数学模拟几何题
现在用几何方法做一下。
为了利用45°角，首先想到作DE⊥AC。则AE=DE=13/√2，CE=√(x²-13²/2)。
用勾股定理列方程：
12² (5 x)²=(13/√2 √(x²-13²/2))²
化简得：
119x²-1690x-28561=0
解方程就可以得到x=169/7。
这个方程数据比较大，需要一点计算功力。
再来看老师的解答。老师开始也作了辅助线DE⊥AC，说不好求放弃了。然后作下图辅助线，利用相似三角形边长成比例求出，很好的方法。这里也利用了有45°角的直角三角形直角边相等。
老师的解答
总结一下：容易想到怎样作辅助线，列出方程也不难，解方程数据大要花点时间，考验学生的计算能力，不至于像老师所说的全班全军覆没吧。高中生用三角函数可以轻易求出。
从这题可以看出，利用45°角有两种方法作成直角三角形。一是垂线法，直接用45°角边上的一个点作垂线；二是延缩法，延缩45°角的一条边使其和45°角的对边成90°角。下次碰到45°角我们就可以这样作辅助线去试一下，看看有没有用。
学习就是要不断地总结、吸收、消化、利用，通过大量解题实践掌握各种数学方法的原理。
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