小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折

  2018年8月25日星期六

  这部分内容来源于人教2011版小学四年级《数学》下册第五单元“三角形”,该单元带领小朋友们学习了三角形的特性、三角形的分类、三角形的内角和。其中三角形的特性一节的内容具体又有:三角形的概念、表示、底和高、稳定性、三边关系。在这些“特性”中:“概念和表示”是最基础的,也是学习起来最自然的,三角形有3个顶点、3条边、3个角,命名抓住了“3个顶点”,比如:三角形ABC(大写字母表示点的名称,小写字母表示线的名称,这是一种数学字母符号表示的约定俗成),概念则抓住了“3条线段”围成的图形,可见,最基本的性质都和数字“3”相关;“底和高”的学习除了理解概念,还要重视操作,二者不可偏颇,相互促进;“稳定性”的理解可简单可深入,简单来说:三角形木框区别于长方形木框“拉不动”三字,即可构成对“三角形具有稳定性”最直观的理解,深入地谈则有:形状的唯一性、形状的不变性以及边数大于3的多边形“容易变形”的特点,是一块在理解上“弹性”很大的内容;考虑到小学生学习、计算、应试的实际,综合对比:“三边关系”的学习难度最大,理解层次多,解答题型丰富,考试比重大,故而本文择其谈之。对于“稳定性”,似乎也有谈谈的必要,后续再看情况。

  教材关于三角形“三边关系”的学习只提供了1页内容2个例子,见下图:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(1)

人教版四年级数学下册63页

  从这些内容来看,三角形三边关系的学习根本不需要“四次”思维转折,只需“两次”就够了。但从学生面对的试题、配练实际出发,要求被“拔高”了。因此,本文的视角基于教材,统筹练习,面向小朋友们的学习实际。

  第一次思维转折:理解公理,应用公理。

  此处所说的“公理”,即例3所要表达的内容,如下图:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(2)

  这条“公理”概括起来叫做“两点之间线段最短”。何谓“公理”?即公认的道理。即是公认,便是勿需证明的基本的正确事实,这些“公理”往往构成了一门学科的出发点。值得一提的是,我们初中所学的《几何》其实完整点应当叫做《欧几里得几何》:“欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得(公元前330年~公元前275年)的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时单指平面上的几何,即平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里得空间。”这是“百度百科”关于“欧氏几何”的简介,我借用一下。欧几里得几何有个主要的特点是:基于5条公理和定义,演绎出了诸多的定理和推论,构成了一套严密的“演绎系统”。这5条公理是:

  “

  1.过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理);

  2.线段(有限直线)可以任意地延长;

  3.以任一点为圆心、任意长为半径,可作一圆(圆公理);

  4.凡是直角都相等(角公理);

  5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角,则两直线作延长时在此侧会相交。

  上述前三条公理是尺规作图公理,用来定直线与圆。第四条公理比较不一样,它好像是一个未证明的定理。事实上,它宣称着:直角的不变性或空间的齐性。它规范了直角,为第五公理铺路。第五公理又叫做平行公理,因为它等价于:

  在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟此直线平行。

  ”

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(3)

欧几里得和《几何原本》

  您也许会奇怪,这5条公理并不包含“两点之间线段最短”,这也是我的疑惑。我想要表达的是:

  ①我偶然间发现的问题“两点之间线段最短是公理吗”,并不是一个轻松的问题。从我的学习经历来看,我的几何老师确定无疑地讲给我们它是公理,网搜也可以得到大量“是公理”的答案。但是,也有不认为其是公理的,理由是“两点之间线段最短”是可以用“变分法”证明的。对此,我只能说:“水平有限,难以理解”。

  ②公理作为一门学科的基本出发点,往往决定了学科的发展方向。事实上,后来的数学家,比如高斯等人,改变了第5公理,发展起了全新的、高深莫测的“非欧几何”。这五大公理,原来是叫做5大公设的。即是假设,自然是可以改变的。但关于“公理”与“公设”的差别,细究起来,又是长篇累牍,只好作罢。

  ③对于解决问题的依据,寻根溯源,找出最初始的依据,是一种科学的态度。从小学数学教材的编排来看,自然也是以“两点之间线段最短”作为公理的。

  ……

  就让我们逃开这些理论上的难题,转而关注于“两点之间线段最短”的本身意义,这才是小朋友们最应该直接面对的。

  我想这句话可以啰嗦一点去理解:“两点之间,非线段比线段长”。有哪些“非线段”?譬如:折线、弧线、任意曲线。如下图:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(4)

折线

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(5)

半圆弧

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(6)

任意曲线

  直观来看,确实“线段最短”。“直来直去,省时省力”,呵呵。

  我们拿出“折了1次”的折线来对比:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(7)

1次折线

  显然:红色的“一次折线”比黑色的线段长。由于整个图形构成了一个三角形,因而这个结论可以换个等价的说法:三角形两边之和大于第三边。于是,我们得出了三角形三边关系的最初的结论。

  第二次思维转折:理解“任意”,拓展结论。

  我们可以这样约定俗成地表示一个三角形:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(8)

  即三角形ABC,或△ABC,三个顶点为:A、B、C;三条边为:线段AB或c、线段BC或a、线段AC或b;三个角为:角A或∠A、角B或∠B、角C或∠C。以小写字母命名边时,遵循了:∠A的对边为a、∠B的对边为b、∠C的对边为c。

  上述“思维转折一”事实上是以边AB为出发点观测,可得结论: BC+AC>AB,即:a+b>c。

  “任意”的意思是可遍历或随意选取三角形的任一边为观测出发点:

  以边BC为出发点观测,可得结论:AC+AB>BC,即:b+c>a;

  以边AC为出发点观测,可得结论:BC+AB>AC,即:a+c>b。

  于是,综合得出结论:

  三角形任意两边的和大于第三边。

  或表达为:第三边<两边和

  (重要程度★★★★)

  此时,教材上的内容似乎完成了,只需再学习一些解题的技巧,比如下面的题:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(9)

人教版四年级数学下册练习十五第7题

  以长3cm、4cm、5cm的小棒是否能拼成三角形为例说明:

  完整的判断如下:

  由于:

  3+4>5成立

  3+5>4成立

  4+5>3成立

  所以:长3cm、4cm、5cm的小棒能拼成三角形。

  但事实上可以简化判断过程如下:

  设任意给定三条线段为:a、b、c,且满足:a≤b≤c(实为对三条线段从短到长排序),如果有:a+b>c成立,则线段a、b、c一定能围成三角形。

  用“不太准确的人话”描述就是:

  只需检验:

  小边+中边>长边,是否成立?

  即可。

  (重要程度★★★★)

  这使得验证工作量“由3次降为1次”,对于解题,还是很实用的。比如:(5,6,11)不能围成三角形,原因只是:5+6>11不成立。

  第三次思维转折:变“和”为“差”,转换角度。

  已知三角形ABC,三条边为:a、b、c,我们已知的三边关系有:

  a+b>c、a+c>b、b+c>a。

  如果我们学习了“不等式的性质”,比如:

  a+b>c

  两边同时减去b,不等号的方向不变。

  a+b-b>c-b

  得:a>c-b

  也即:c-b<a

  同理有:c-a<b 、b-c<a、b-a<c、a-b<c、a-c<b。

  可得结论:

  三角形任意两边的差小于第三边。

  或表达为:两边差<第三边

  (重要程度★★★★)

  但是,可惜的是,小学生并没有学习这些,我们需要转换思路:

四下数学三角形三边的关系讲解(小学数学中三角形三边关系学习的四次思维转折)(10)

  如上图,已知两条线段a、c,且a<c,c-a=d,此时如果要选择第三条线段b与线段a、c围成三角形,则线段b至少要比d长,否则根本“够不到”,因此有:

  b>d

  即:b>c-a

  或许,这是唯一可以让小学生理解这个结论的办法。

  第四次思维转折:“和”“差”对照,完善结论。

  任意给定两条线段:a、b。请注意,此时我们是“完全任性”的,这两条线段的长度随意。

  如果我们要接着给出第三条线段c,且a、b、c要能够围成三角形,则这个“第三边”便不能再“完全任性”了,在一定范围内,它才是自由的。即:第三边不能太长,要小于已知两边之和;第三边不能太短,要大于已知两边之差(自然选正值之差,或曰:绝对值大的差,小朋友对此忽略)。描述为:

  两边差<第三边<两边和

  (重要程度★★★★★)

  例 已知一个三角形的两条边长为5cm、9cm,请问第三条边的长度可能是哪些?(仅罗列整厘米结果)

  解:两边差<第三边<两边和

     9-5<第三边<9+5

       4<第三边<14

  答:第三边的整厘米长度可能是:5、6、7、8、9、10、11、12、13cm。

  如果考虑小数结果,则会发现,可能的三角形会有无穷多种。

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