虚数单位i最常见的定义是=i, 还有定义=-1, (我比较喜欢的这个)。注意，对于负实值的平方根，或者任何根，当涉及到以下乘积时，你必须小心:
这显然是错的;应该是. =-1。这里有一个限制:当取两个负实数的平方根的乘积时，在相乘之前，应该先将每个因子转换为一个复数。这个转换看起来像这样:
复数有实部和复部。例如，复数z=a bi有a的实部和b的虚部，可以写成Re(z)=a, Im(z)=b。如果复数的实部是0，那么这个数就是纯虚数。像7这样的数是一种普通复数，它的虚部是0。你可以在复平面上画出复数，复平面有实轴和虚轴。这种a bi形式也被称为复数的矩形形式。
在数字系统方面，N⊂Z⊂Q⊂R;;复数是实数的超集。它们是独特的，具有现实世界的应用，就像复数所做的事情是实数有限做不到的。复数的集合类似于实数R，有序实对的集合(你可以把每一个复数看作是它的实部和虚部的有序对)。但是，复数的一个基本优势超过了实数，就是求复数的乘积很简单，结果是另一个复数;试图求两个有序实对的乘积是很复杂的。
在现实世界中，复数的应用出现在二维的流体力学中，或者在工程中表示平面的旋转，因为复数提供了二维系统的美妙的表达方式。
基本算术:复数的求和，模和共轭
计算复数的和很简单:你只需要将它们各自的实分量和虚分量相加。例如:我(43 7i) (12−34i)= (43 12) i(7−34)= 65−27i。换句话说,z1 z2 = (Re (z1) (z2)] i [Im (z1) Im (z2)]。你只要把i当做其他的常规的代数变量然后加上类似的项。更直观的解释方法是用复数的向量。当两个复数相加时，你是在求两个向量的和:你把一个向量的底平移到另一个向量的顶。
一个复数的绝对值/半径/模量，就是一个数在复数平面的原点的位置。利用距离公式，我们得到了复数z=a bi的模r为r=。|z1−z2|是两个复数的绝对值，表示复数平面上两个复数点之间的距离。这样的方程|z−(3 4i)|=3表示所有距离3 4i 3个单位的复数的集合。解集可画成一个圆。
复数z=a bi的共轭，用z -表示，等于a - bi。换句话说，它是反映在实轴上的复数。它的性质是如果你取一个复数和它的共轭的乘积，你总是得到模的平方。事实上，这就是你如何得到平方和的公式:
共轭复数有许多性质;这里列出一些:
这里是一个众所周知的定理的例子，涉及多项式利用共轭的性质:
复数共轭定理:给定多项式P(x),，如果a bi是多项式的根，那么a-bi它也一定是根。
复数的极坐标形式
到目前为止，我们一直在考虑复数的实分量和虚分量形式。还有一种表示复数的方法在某些情况下更有用。它使用了复数的模量和它的辐角（由右x轴转到指向复数的向量）。在下面的图中，r是模数，是幅角。换句话说lzl=r, θ=arctan(y/x).
因此复数可以写成：
复数还有一种极坐标形式：
利用它可推出著名的欧拉公式，请见复数的欧拉公式。
下面是利用复数的极坐标形式可以很方便地做复数的乘、除、乘方、开方的运算。
