线性代数在解析几何中作用和地位（代数分析几何与拓扑）

很多人都听说过“现代数学分成代数、分析、几何”三大块这种说法。其实这种说法并不准确。数学并不是像生物学分类那样，按照界门纲目科属种那样能够严格地分出不同层次的分界线。现代数学不同领域的差异当然存在，但是这些领域的边界线则犬牙交错，交叉的地方并不清晰。而且某个领域使用其他领域的方法和定理也是很常见的事情。

那么，我们首先简单介绍一下三大方法论大致是个什么“取向”，给对数学有兴趣的初学者一点感觉：

代数：以线性代数、抽象代数为基础，研究各种代数结构，比如最常见的群环模域线性空间，李代数，以及不那么常见的高阶同伦代数（homotopy algebra）等等。代数的一个基本特征是对称性。一般来说，某个数学对象（比如说拓扑空间）如果具备某种代数结构（比如拓扑空间上面有同调群），那我们就可以利用这种代数结构的已知结果，来反过来研究、“探测”那个数学对象。这是代数影响其他数学分支的一个基本模式。

分析：以广义的微积分（比如实分析复分析调和分析等等）、微分方程理论、泛函分析等为研究工具，对函数、方程等“可以求导”的东西进行精细的分析（比如不等式估计等等），的一种方法论。分析大致可以分为软分析和硬分析。个人的观点是，软分析有点像定性的分析，比如泛函分析里各种结论，比如一个函数空间紧嵌入到另一个函数里，不需要知道到底怎么嵌入的，就可以依据紧性推导出一些结论。而硬分析则有点像定量的分析：每个常数，跟哪些量有关，具体是怎么个相关法（多项式依赖？指数依赖）？这些常数具体是多少，能不能做到最优，最优常数是多少？用一列东西去逼近一个东西，误差项大概有多大？误差项是什么阶数（多项式（几次多项式？）？多项式乘以对数？）？能不能把bound放大或者缩小，直至最优？ etc.

几何（与拓扑）：主要关注几何对象与拓扑对象。几何与拓扑的区别在于，拓扑比几何更“软”，更flexible，几何是在拓扑空间上加额外的结构（度量结构、复结构、辛结构，或者这种结构的“组合结构”，比如Kahler结构，等等）。拓扑关注的一个重要对象是拓扑不变量，比如同调上同调、同伦群、K理论等等。几何可极粗略地分为微分几何与代数几何——微分几何主要关心曲率等，代数几何主要关注代数簇、scheme等等的各种“代数性质”（“代数”这个形容词可以粗略理解为只跟多项式有关）以及我不懂的各种东西（这个话题抱歉我没法聊，懂的太少。。）。

当然除此以外还有其他一些方法论，比如概率论（其实可以放在广义的分析框架里面，但是研究的方法、看待问题的角度还是有独特的地方）、组合、数理逻辑等等。

我一开始说三大方法论不是完全分割的，相互之间互有联系，下面举一些例子来说明：

有些人可能觉得分析就是搞搞不等式估计、求求导积个分什么的，用不到多少代数。其实也不一定。PDE很多时候都有对称性，这些对称性很多时候能简化问题。（李当初发明李代数的目的可是拿来解微分方程的，他想用李代数来刻画方程内在的infinitesimal symmetry）。调和分析自然地和表示论有联系。另外再说一件事。我在本系听deformation theory seminar的时候，有个人讲到PDE里面蕴含了一些homotopy algebra的结构，然后他做了一些对这种代数结构的研究。目前有价值的PDE基本都来自于“大自然”，比如来自物理或者来自几何。这些被大自然挑选出来的方程，里面可能本身就蕴含了一些内在的结构，使得他们相对于人类随便乱写的一个方程更容易处理。

代数几何当然和代数有深刻的联系。这方面就举一个例子，Kodaira embedding theorem. Kodaira embedding是从Kodaira vanishing＋指标定理（HRR） 推出来的，Kodaira vanishing是说positive line bundle做某种twist以后的高阶上同调全部为0，算是一个（同调）代数结论。Kodaira embedding是说对紧Kahler流形，positive line bundle和ample line bundle是一回事，而ample line bundle能把这个流形嵌入到某个CP^N里面，算是一个几何结论。这就是一个“同调代数应用于几何学”的例子。

微分几何里面也有代数。微分几何里面holonomy group之类的东西和李群、表示论都有着千丝万缕的联系，spin structure，Clifford algebra这些东西都算是代数的方法论应用于几何学（以及拓扑学）。

纯代数里面很多东西都可以翻译成代数几何的语言。比如Galois theory可以翻译成代数几何里面的etale cover（具体是什么不要问我，我就随便一说）。

比如p-adic analysis，差不多是模仿复分析的方法，在p-adic field上做分析。另外我们有著名的GAGA原理，复代数几何和复微分几何某种意义上可以看成用不同的方法论研究同一个对象，很多时候能得到相同的结果。

OK，说了这么多。。最后再说一句：数学专业的低年级本科生们，如果以后打算做数学研究的话，学专业课的时候不要抱着“我以后做代数所以不需要认真学分析”或者“我以后学分析所以没必要好好学抽代”之类的想法。在力所能及的范围内，尽量多学点东西。本科那些知识，都是各个分支的common knowledge，你现在可能觉得某些知识和你感兴趣的东西毫不相干，但也许以后你学得更深入的时候，它们就突然出现了。