在几何学中,术语“法线”定义了一个物体,比如垂直于给定物体的向量或直线。 在这里,你会看到平面的正交方程。 如果有两个条件是已知的,这就可以确定。 一个是垂直于平面的另一个是平面到原点的距离。 在本文中,您将学习平面的矢量方程以及笛卡尔形式。

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(1)

平面的法向表达和直角坐标表达

平面的正交的表达方程是:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(2)

其中→r是平面上一点的位置向量,n^是沿连接原点和平面的法向量的单位法向量,d是平面到原点的垂直距离。

设P (x, y, z)是平面上的任意点,O是原点。 然后,我们有,

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(3)

n^的方向坐标是 (l ,m ,n), 所以有:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(4)

由方程r. n = d,我们得到

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(5)

因此,平面方程的标准形式的直角坐标形式为:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(6)

正交方程形式的平面例子

例 1:

一个平面与原点的距离为9/√38 。从原点起它的法向向量为:

5i^ 3j^ – 2k^.

求平面的向量方程式。

解:

令法相矢量为:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(7)

现在求出法向矢量的单位矢量:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(8)

因此,将其代入向量方程即可得到所需的平面方程的向量表达为:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(9)

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(10)

例2:

求出下列平面的直角坐标方程:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(11)

解:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(12)

因为r是平面上的一个点,用直角坐标替换(1)有:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(13)

所以直角坐标平面方程为 x y – z = 2.

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(14)

我们知道对于平面上任意点P(x, y, z)位置向量为:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(15)

带入(2)式:

切平面方程怎么求(平面的正交方程)(16)

所以直角平面的坐标方程为 2x 3y – 4z = 1.

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