近期正在构思关于新能源汽车与传统燃油汽车的环保分析、风阻的文章，中间跳转到量纲分析与贝克汉姆π定理（Buckingham π theorem），发现这个话题也很有趣，于是利用五一闲暇，临时插写一篇关于这方面的文章，以飨广大网友。
什么是量纲？量纲（DimenSIon）是指物理量的基本属性。物理学的研究可定量地描述各种物理现象，描述中所采用的各类物理量之间有着密切的关系，即它们之间具有确定的函数关系。
物理量可分为基本量和导出量。基本量是具有独立量纲的物理量，导出量是指其
量纲可以表示为基本量量纲组合的物理量；一切导出量均可从基本量中导出，由此建立了整个物理量之间函数关系。
1971年后，国际上普遍采用了国际单位制（简称SI），选定了由7个基本量构成的量制，7个基本量的量纲分别用长度、质量、时间、电流强度、温度、物质的量和光强度表示()。
|
物理量名称 |
物理量符号 |
单位名称 |
符号 |
单位定义 |
|
长度 |
米 |
m |
1米是光在真空中在1/299792458秒的时间间隔内的行程 | |
|
质量 |
千克 |
kg |
1千克是普朗克常数为6.62607015×10^-34J·s时的质量单位 | |
|
时间 |
秒 |
s |
1秒是铯-133原子基态两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770周期的持续时间 | |
|
电流 |
|
安(安培) |
A |
1安培是单位时间内通过1/1.602176634×10^19个电子对应的电流 |
|
热力学温度 |
开(开尔文) |
K |
1开是玻尔兹曼常数为1.380649×10^-23J·K^-1的热力学温度 | |
|
物质的量 |
摩(尔) |
mol |
1摩尔是精确包含6.02214076×10^23个原子或分子等基本单元的系统的物质的量 | |
|
发光强度 |
坎(坎德拉) |
cd |
1坎为一光源在给定方向的发光强度，光源发出频率为540×1012赫的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为1/683瓦每球面度 |
导出量纲与七个基本量纲一定满足对数线性组合关系，可用这7个基本量导出。任一个导出量的量纲可以表示为量纲的通式子：
式中的指数，，…称为量纲指数，全部指数均为零的物理量，称为无量纲量，如精细结构常数即为一无量纲量。常见的物理量的量纲有
速度的量纲，单位是；
加速度的量纲，对应的单位为；
力的量纲，对应的单位为，用N表示；
万有引力常数的量纲，对应的单位为。
量纲和谐原理任何物理意义上的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。如方程
中的每一项的量纲必定相同，也即
量纲和谐原理表明，只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小。
量纲和谐原理也叫量纲齐次规律，也就是量纲是对齐的。
量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的准确性与完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知参数，还可以用来简历有关方程式。
下面举几个典型量纲分析法的例子，这几个例子在很多材料中有介绍，这里泗水亭长只是通过归纳整理，试图使之更加浅显易懂。
- 用量纲分析法求单摆周期
单摆的周期与物理量（质量）、（长度）、（重力场重力加速度）有关，即
。
根据量纲和谐原理得
也即
，也即
得到
也即
解方程组，得到
所以
也即
这个结论已经非常接近单摆的周期公式：了。
用量纲分析法证明勾股定理在，为直角，三条边的边长分别为、、。证明：。
根据我们的经验，一旦斜边边长和确定，则三角形面积也就确定了。所以，三角形的面积可以表示为：
由于是无量纲量（弧度），故直角三角形的面积公式可以表示为
其中是某个关于角的函数，也是无量纲量。
根据量纲和谐原理得到：
也即
由于，，故得到
进而得到
。
所以，的面积可以表示为
。
做辅助线AD垂直于BC并交BC于D：
则得到两个直角三角形：和。
利用上述推导出来的直角三角形面积公式，这两个三角形的面积分别为：
和
（∵）
由于
，故
，从而推得：
。
用量纲分析法证明勾股定理物体绕地球旋转的运动周期与地球质量m、轨道半径、G有
关，即
根据量纲和谐原理可得
也即
对比两边指数，得到
解该三元一次方程组，得到
从而，得到
这个公式与实际公式只有一步之遥了。
总结从上面三个案例可以看出，我们通过量纲和谐原理，直接可以轻松证明勾股定理，而且可以直接推导出单摆的周期公式和物体绕地球旋转的周期公式，而这两个公式与最终的公式只相差一个系数，而系数是可以通过实验测试出来的。
这真的有些入乎其中出乎其料！
从中我们不难领略到量纲和谐原理/量纲分析：简单直观，但功能强大。
,
