三角形的有关证明复习学案（与三角形有关的角）

三角形的内角和为180°，应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。

因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°。

类型一：三角形的内角和

例题1：在△ABC中，已知∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．

分析：题中给出两个条件：∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A ∠B ∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．

解：由∠A ∠B＝80°及∠A ∠B ∠C＝180°，

∴∠C＝100°．

又∵ ∠C＝2∠B，

∴ ∠B＝50°．

∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

解答本题的关键是利用隐含条件∠A ∠B ∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

类型二：三角形的外角

例题2：（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．

典型的“X”模型（或“8”字模型），可利用外角或平行线进行证明。

方法一：

解：如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，

同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，

所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

方法二：过A作AE∥BD，过C作CF∥BD，则CF∥AE，即可得出∠D ∠B=∠OAE ∠OCF，再根据平行线的性质，即可得出∠CAO ∠C=∠B ∠D；

解：如图，过A作AE∥BD，过C作CF∥BD，则CF∥AE，

∴∠OAE=∠B，∠OCF=∠D，

∴∠D ∠B=∠OAE ∠OCF，

又∵CF∥AE，∴∠ACF=∠CAE，

∴∠OCF=∠OCA ∠ACF=∠OCA ∠CAE，

∴∠D ∠B=∠OAE ∠OCA ∠CAE=∠A ∠C.

（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B ∠C．

典型的飞镖模型（燕尾模型），利用三角形的外角性质进行证明。

解：如图，延长线段BD交线段于点E,

在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；

在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，

将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．

也可以连接AD并将其进行延长，同样利用外角的性质进行证明。

类型三：三角形内外角综合运用

例题3：已知如图∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围．

解：∠C的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90° ∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=1/2∠ABY=1/2（90° ∠OAB）=45° 1/2∠OAB，

即∠ABE=45° ∠CAB，

又∵∠ABE=∠C ∠CAB，

∴∠C=45°，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．

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