一道初中题-求最大的三角形周长
在图中PQRS是个正方形， 边长为4， 点T和U在变QR和RS上。∠UPT=45°， 求三角形RUT的可能的最大周长。
解法1：初中解法，如图
将三角形PSU逆时针旋转90度， 这样PS落在了PQ上， S落到了V，
PV=PU， PT=PT
而∠VPT=∠VPQ ∠TPQ=∠UPS ∠TPQ=90°-∠UPT=45°
即∠UPT=∠VPT
因此三角形PUT全等于三角形PVT，
所以UT=VT
因此三角形UTR的周长为：
UR RT UT
=UR RT VT
=UR RT (TQ VQ)
=(UR VQ) (RT TQ)
因为VQ=US , RT TQ=RQ=4， UR US=SR=4
所以：
UR RT UT
=UR RT VT
=UR RT (TQ VQ)
=(UR US) (RT TQ)
=SR RQ
=4 4
=8
所以三角形RUT的周长是个定值，其可能的最大值就是8.
解法2： 用高中的三角知识，
设∠SPU=θ，那么可以得知，QPT=90°-45°-θ=45°-θ
应为PS=PQ=4， 所以
SU=4tanθ
QT=4tan(45°-θ)
因此UR=4-4tanθ
TR=4-4tan(45°-θ)
在三角变换中：
所以：
根据勾股定理， 在直角三角形UTR中，斜边的长度为：
因此：
说明所求周长为定值8.
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