学过高等数学的朋友应该都知道，lnx的麦克劳林公式是不存在的。因此很多初学者就想当然地以为lnx的泰勒公式也是不存在的，或者说是不可求的。然而，实际情况并不是这样的。麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0的特殊形式。lnx的麦克劳林公式不存在，但lnx的泰勒公式却未必不存在，也未必不可求。
首先解释一下lnx的麦克劳林公式为什么不存在。那是因为麦克劳林公式要用到函数在x=0函数值和各阶导数值，而lnx在x=0没有意义，自然就不存在x=0的函数值和各阶导数值，因此lnx在x0=0的麦克劳林公式不存在。看到这里，大家应该知道为什么lnx的泰勒公式未必不存在了吧。因为lnx在x>0的任意点都有定义，且存在任意阶导数，所以lnx在x>0的任意点的泰勒公式，都是存在的。那么它是不是可求的呢？看完下面这道题，您就会明白了。题目是这样的：
求lnx在x=2处的泰勒公式.
分析：由于许多初学者（包括不久前的老黄）都以为lnx的泰勒公式不存在，或者不可求，所以解决这个问题，就会刻意避开lnx的泰勒公式。就连教材，也是利用ln(1 x)的泰勒展开式，来解决这个问题的。下面直接分享教材的解法，再来分析教材为什么要这样解。
首先，提供ln(1 x)的麦克劳林公式，以做参考，这个公式是要求记住的：
ln(1 x)=x-x^2/2 x^3/3-… (-1)^(n-1)x^n/n o(x^n).
解1：lnx=ln(2 (x-2))=ln(2(1 (x-2)/2)=ln2 ln(1 (x-2)/2), 【这一步看起来是相当巧妙的】
记u=(x-2)/2,则ln(1 u)=u-u^2/2 u^3/3-… (-1)^(n-1)u^n/n o(u^n). 【这是换元法的运用，目的就是为了使解题过程更加简便，然而它真的简便吗？】
ln(1 (x-2)/2)=(x-2)/2-((x-2)/2)^2/2 ((x-2)/2)^3/3-… (-1)^(n-1)((x-2)/2)^n/n o(((x-2)/2)^n)
=(x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n)
【注意高阶无穷小o(((x-2)/2)^n)和高阶无穷小o((x-2)^n)在意义上是等价，因为无穷小量的系数1/2^n并不影响它的阶】
所以，lnx=ln2 (x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n).
继续分析：显然，教材并不是想告诉大家，lnx的泰勒公式是不可求的，而是想告诉大家，利用换元法，结合ln(1 x)的麦克劳林公式，解决这个问题更加简便。但是初学者哪里懂得这么多，看到教材也刻意避开lnx的泰勒公式，就会更坚定地以为，lnx的泰勒公式不存在或不可求了。下面老黄就演示第二种解法，直接求lnx的泰勒公式，来比较一下，看看教材的方法是否真的比较简便。
首先，提供泰勒公式的一般形式，以做参考，这个公式更是要牢记的：
f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0)/1! f"(x0)(x-x0)^2/2! … f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! o((x-x0)^n).
解2：记f(x)=lnx, 则f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n， f^(n)(2)=(-1)^(n-1)(n-1)!/2^n,
∴lnx=ln2 (0!(x-2))/(1!*2)-(1!(x-2)^2)/(2!*2^2) (2!(x-2)^3)/(3!*2^3)- … (-1)^(n-1)(n-1)!(x-2)^n/(n!*2^n) o((x-2)^n)=ln2 (x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n).
怎么样？是不是直接求lnx在x=2的泰勒展开式，要比教材的方法更简单呢？学数学，一定要懂得融会贯通，千万不能被表象迷惑了，只有透过表象看本质，才能把数学学好。关于泰勒公式和麦克劳林公式，还有很多容易被忽略的知识，一篇文章，无法尽述。如果您觉得老黄讲得有道理，不妨关注一下，老黄会在今后的作品中，继续为大家分析。
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