1 音律为什么是7个音符(五度相生律)?

1.1 一个音程对应一段弦L,在一段弦内需要找到对应最和谐的音的点;(弦乐器弦的振动频率和其长度是成反比的,最和谐的点是整数比例关系的点)

1.2 要能解决“转调”问题(简单的关系或比例,弦的不同段实现同音不同调的需要,弦长减半,音高为两倍,即2F;)

1.3 一段弦在3/4L和2/3L这两个位置与主音是最和谐的音(整数关系的点的音最和谐);

1.4 转而找2/3的2/3,即与最和谐的那个音的最和谐的音,这样就得到了4/9的位置,即9/4F音高。如果超出了2F的范围,进入了下一个音程可利用“等差音高序列”将频率减半,得弦长8/9的位置。如此进行“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环,循环多少次呢?考虑到(3/2)^5≈7.59,和2^3=8很接近;所以循环5次比较合适,得到了5个音,加上主音和4/3F,一共是7个音(两音之间的关系只存在两种比例关系,也就是全音与半音的关系)。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率,从小到大分别是1F、9/8F、81/64F、4/3F3/2F、27/16F、243/128F。

如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi……,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的, 而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律” 。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

什么弦乐器比吉他还小(弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律)(1)

从上图可见,在1到1/2的五个整数比之间中,第3、4个的整数比的相邻值差是0.04,以及第7个整数比与1/2的相邻值差是0.03,相邻的值相对于其他相邻值,差不多小一倍,所以构成半音关系。

2 五度相生律的修正

上述半弦长两倍音高的(3/2)^5≈7.59和2^3=8的值存在差异,需要修正;

2.1 从7声音阶发展到12声音阶

(3/2)^12≈129.7,和2^7=128很接近,于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次,就有了12个音符(包括上面的7个音符)。

什么弦乐器比吉他还小(弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律)(2)

排序后为:

什么弦乐器比吉他还小(弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律)(3)

2.2 十二平均律:

对于 “转调”来说,上面的12声音阶还是有一个近似值的问题。

实现一个八度内均分12份,可以直接就把2:1这个比例关系开12次方。也就是说,真正的半音比例应该是2^(1/12);

什么弦乐器比吉他还小(弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律)(4)

3 在吉他上可以清晰地看到这种转调的循环关系

什么弦乐器比吉他还小(弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律)(5)

吉它的第一弦是细弦,同品位置较细的弦相对于相邻的较粗的弦,要高4个音音或5个半音;

吉它的第0、1、3……品,品越高,弦越短,振动频率越高,音也越高,相邻之间是一个半音关系。

吉它同弦相邻品之间是一个半音的关系,12品构成一个转调的循环。

吉它同品相邻弦之间的关系:

第2、3弦:同品相邻弦之间相关4个半音;

第2、3弦以外的其他弦:同品相邻弦之间相关5个半音;

第1至第6弦之间相差:5 4 5 5 5=24个半音,构成一个转调的循环。

由上,如果第6弦第0品的音定为低音mi(C大调mi型),则按上面的规则,可以推算出吉他上各弦各品的全部音阶。

-End-

,