三角函数求30度直角三角形边长(三个转换边角直角)(1)

H21.如图,AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,PBD是⊙O的割线,割线PBD与AC相交于点E,且BA=BP。(1)求证:AB=BE;(2)若⊙O的半径r=5,AB=6,求AD的长。

三角函数求30度直角三角形边长(三个转换边角直角)(2)

解读:

(1)欲证AB=BE,只需证∠EAB=∠BEA即可。

由PA是⊙O的切线得,∠EAP=90°,

即∠PAB ∠EAB=90°,

由BA=BP得,∠PAB=∠P

又∠P ∠AEB=90°,

所以∠PAB ∠BEA=90°,

因而∠EAB=∠BEA,

所以AB=BE;

(2)

欲求AD,只需证明AD=AP,求AP即可。

注意到Rt△AEP和Rt△BAC中,有等角,

利用三角函数列方程,求AP。

如图,连BC,

三角函数求30度直角三角形边长(三个转换边角直角)(3)

由AC为⊙O的直径,

则∠ABC=90°,

AC=10,BA=6,由勾股定理得,

BC=8,且AB=BE=BP=6,PE=12,

由∠C ∠CAB=90°,

又∠BAP ∠CAB=90°,

所以∠C=∠D=∠BAP=∠P,

cos∠C=cos∠P,

即8:10=AP:12

所以AP=48/5,

由∠D=∠P得,

AD=AP=48/5。

综述:

本题属中考中档题,涉及一些边、角、直角的转换问题,注意以下几点:

1.等边用等角转化;

2.等角用等角余角等、同弧上的圆周角等转换;

3.直角用切线、直径等条件转换;

4.求线段长,用等角的三角函数值等转换。


三角函数求30度直角三角形边长(三个转换边角直角)(4)

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