提到lnx,我们都知道它是eˣ的反函数。而提到eˣ我们要先说说无理数e的意义，(参见以前写的文章——自然对数的意义 )，这里对无理数e的意义再作个解释：
先看下面这个事例：
一个公司年利润1元，年利润每年增长50%，那两年后年利润为1×(1 0.5)²=2.25元，这是典型的复利计算模型。。
再比如，一个银行年利率100%，1元存一年本利和为2元。假设利率与时间成比例（一年利率100%，半年利率50%，1/4年利率25%……）。存半年本利和变为原来本利和的1 0.5=1.5倍，一定的金额存半年就会变成原金额的1.5倍，存两次半年（存一次后将本利和再存入），金额会变成原金额的(1 0.5)²倍；一定金额存1/3年，会变成原金额的1 1/3=4/3倍，存三次1/3年（每次本利和都再存入），金额会变成原金额的(1 1/3)³倍……
这就说明数列{Xn}是单调增加的，这个数列同时还是有上界的，因为，如果Xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得
这说明这个数列的极限是存在的，我们一般用e来表示该极限的值，e≈2.718281828，即
因为若每时每刻银行都付利息，我们每时每刻又再存入，那一年后的本利和是原金额的e倍，设1元钱这样存x年后本利和是y，则存两年y=e²，存x年y=eˣ.
我们接着再看这样一个例子：
如图：若P、Q两点分别以相同的初速度（初速度为每秒1个单位长度），在两具有相同单位长度的数轴上运动。点Q沿数轴CD（C为原点）作匀速运动，设CQ=x；点P沿数轴OB（O为原点）从A点(OA=1)开始运动，它在任何时刻的速度值等于它离O点的距离，设OP=y，设时间为t(单位秒)，易知t与x数值上相等。令P与Q同时分别从A，C出发，我们能否求出y与x的函数关系呢？
我们知道P点的运动特点是在任意时刻以y值为运动速度，t=0时，y=1.能不能求出t=1时y的值呢？
当t=1秒时,CQ=1,将这一秒无限细分成n份，每份1/n秒,设第一个1/n秒位移值为a₁,第二个1/n秒位移值为a₂,……设数列{an}前n项和为Sn,t=1时y=Sn.
类比上面存款模型可知：t=x时y=eˣ，这便是以e为底的指数函数，由y=eˣ知x=lny(lnx与eˣ互为反函数）。
在P点的路程-时间（s−t/y−x）函数中，每一点的路程为该点处的速度（即每一点的函数值为该点的变化率，速度就是路程对时间的变化率）。
我们再来看看从另一个方向的分析：
如图，我们如何求出由x=1,x=2,x轴和y=x围成的曲边梯形面积?
由定积分知该曲边梯形面积为
（参见前面写的文章——怎样理解定积分）。按照分割、近似代替、求和、取极限的步骤可以求得
按现有数学方法，几乎无法直接对该式求出结果，但根据牛顿莱布尼茨公式，我们可以先找到1/x的原函数再求该曲边梯形面积。
如图a从-8 到 0图象的变化：
可以看出图象在逐渐接近y=lnx的图象，这也符合前面的结果(lnx求导是1/x)。
我们还可以这样理解：
根据互为反函数的函数的求导法则：
这个求导法则怎么理解呢？要知道，导函数表示原函数的变化率，导数值即原函数图象切线的斜率。两函数互为反函数，则它们的图象关于y=x轴对称，f(x)图象在(a，b)处的切线与g(x)图象在(b，a)处的切线也关于y=x轴对称，则两切线的斜率互为倒数，（因为两切线的倾斜角和为90ᐤ或和为270ᐤ，切线斜率代表导数值，所以两函数的导函数互为倒数。
前面已经分析了y=eˣ以自身的函数值为导数值，即(eˣ)′=eˣ，设eˣ=y=f(x)，则f′(x)=f(x)=y，设其反函数lny=x=g(y),
这样我们也自然得出
到这里你明白为什么lnx求导是1/x了吗？
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