图1
要理解梯度，必须先理解什么是方向导数。参照图1。z代表空间曲线。
图2 方向导数说明图
我们先看看方向导数的定义：
图二 方向导数的定义
所谓方向导数，就是指函数f(x,y)沿着直线L变化的速率，这条直线其实就是曲面上相对应的那条曲线在xoy平面的投影，完成投影的这个竖立的平面就称为投影平面，那么，方向导数其实就是空间曲线沿着它自己在xoy平面的投影直线的变化率。正如dy/dx表示二维平面中一条曲线在某一点沿着x轴的变化速率（也就是切线的斜率）一样，参考说明图，可以很清楚地理解方向导数的含义。有了定义以后，可以得出
图3
图3相当于把方向导数
在XOY平面进行了分解，然后再和一个单位向量做点积，这个单位向量就是
这里的角度
就是图2中xoy平面里面由P0点出发的不同的方向直线和x轴之间的夹角。当空间曲线 f 固定的时候，方向直线可以有无数条。那么，方向导数什么时候取得最大值呢？
由上面推论可知，方向导数就等于梯度和xoy平面中方向直线所指向的那个方向的点积。
注意，假设XOY平面有不同的方向直线，那么
梯度方向就是图2中的绿色投影平面在XOY平面截取的那根直线
显然，方向导数的最大值即梯度
图三
整个证明的思路就是先假设梯度的方向就是投影平面在图2中xoy平面中截取的直线L,梯度的方向就是图三，否则，梯度如果是别的方向的话，就会多出一个
因此得证。
下面解释梯度的含义。假设有如下的圆锥形曲面，这个曲面就是函数f(x,y),用一个平面去截取它，
之后得到如下的曲线
之后抬高平面，截取多根曲线后，将其投影到xoy平面，得到下图。
等高线图
可以看出，平面截取的f(x,y)=c,就是一根一根的等高线，其中c越大，说明高度越高，平面越在上面，从而截取的圆圈越小。图中的c1>c2。如果c是连续变化的，那么整个曲面就都投影到了xoy平面。那么，为什么说梯度的方向就是高度变化最快的方向呢？从图二方向导数的定义式可以看出，梯度是方向导数取到最大值的时候的数值，也就是比值取到最大值，那当然是高度变化最快的方向。那为什么梯度的方向就是等高线中该点的法线方向呢？注意，P点对应于圆锥曲面上的某一点。说明如下：
图4
最后，我们可以这样来理解梯度：梯度是为了解决帮助一个站在山坡（P点）的人，寻找一条到达山顶的最短路径（当然也可以到山坡的任何一点）这么一个问题。那么，怎么把等高线图和这个问题联系起来呢？为了解决这个问题，我们需要建立一个三维直角坐标系，其xoy平面就是山坡底部所在的平面，z轴就是P点所在的垂直于xoy平面的直线，即这个坐标系的原点就是山坡上P点在xoy平面的投影（图4）。当图2中的方向直线（包括投影平面）绕着原点转动时，必然在圆锥曲面（山坡）上会截取一条空间曲线，这条曲线就是站在山坡的此人沿着任意方向进行移动的轨迹。而当方向直线转到与等高线图中P点的法线方向一致的时候，就是方向直线找到了梯度的方向（注意，方向直线和梯度向量始终同时处于xoy平面内），而此时投影平面在山坡所截取的空间曲线，必然把此人站立的P点和山坡顶点连接起来，如果没有，那就不是梯度的方向，而且这条曲线就是此人通向山顶（不是山脚，山脚代表梯度的反方向）的最短路径。由此我们可以看出，梯度其实就是这条最短路径在山脚所在平面的投影。那么这个人沿着这条轨迹，每向山顶迈出一步，也就相当于在等高线图中，沿着梯度方向，从一条等高线跨越到了和它邻近的那条等高线。总之，梯度是一个向量，就是空间曲线由其投影平面在XOY平面所截取的那根直线，其值等于方向导数的最大值，方向就是该点在等高线图中的法线方向。
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