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最近，四年级的小陈和五年级的小阮同学在学习中碰到了一个同样的难题。小阮目前在学习小数的乘除法，他对于“根据一道乘法算式直接写得数”的题目感觉很困难，而且还经常写错。题目如下：
四年级的小陈，目前正在学习三位数乘以两位数，作业中总会有这样的题型，他不仅做起来很慢，而且还正确率不高，题目如下：
以上两个孩子遇到的问题实则属于同一类型的题目，只不过一个是在研究整数乘法，另一个是在探讨小数乘法，其本质就是探索积的变化规律。
两个数相乘得另一个数，我们把相乘的两个数叫作“乘数”，所得的数叫作“积”
两个乘数的变化，一定会导致积的变化，那么他们之间的变化有什么规律？这就是我们今天要一起讨论的内容。
第一部分：一个乘数的变化引起的积的变化。
观察：3×2=6与6×2＝12
我们来观察两个算式乘号两边的数字变化。
3如何变成6？答案是：×2
另一个乘数2没有变。
积6变成了积12，如何变？答案是：×2
观察：8×6＝48与8×2＝16
8与8没有变化
6如何变成2？答案是：÷3
积48变成了16，如何变化？答案是：÷3
那总结上面的内容，我们可以得出这样一个结论：
两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数乘以几或除以几，积也乘以几或除以几。（注意：这里的乘以几或除以几排除0这个数）
第二部分：两个乘数的变化引起的积的变化。
上面我们总结的是一个乘数变化引起的积的变化规律，那如果两个乘数都变化，积会如何变化？
观察：4×9=36与12×18＝216
4变成12，过程是：×3
9变成18，过程是：×2
36变成了216，过程则是：×6
两个乘数分别×2和×3，积最后×6，2×3=6
我们初步猜想：两个乘数分别乘以a、b两数，积则乘以a、b两数的积。（ab都不为0）
我们再来验证一次。
观察12×10=120与24×100=2400
12变成24，经历了：×2
10变成100，经历了：×10
120变成2400经历了：×20
2×10就是等于20，因此，我们上面的猜测成立。
那如果两个乘数，都除以一个数，积会如何变化？
观察4×8＝32与12×16＝192
12变成4经历了÷3
16变成8经历了÷2
196变成32经历了÷6
因为2×3=6，所以我们可以得出结论：俩乘数分别除以a、b两数，积则除以a、b两数的积。
我们将第二条和第三条规律合二为一：
两个乘数分别乘以或除以a、b两数，积则乘以或除以ab两数的积。（a、b都不为0）简而言之：同乘乘积，同除除积。
如果两个乘数，一个乘以a，另一个数除以b，积会如何变化？
观察16×3＝48与8×12=96
16变8过程是：÷2
3变12过程是：×4
积48变成了积96，过程：×2
观察36×4＝144与9×8=72
36变成9过程是÷4
4变成8过程是×2
积144变成72过程是：÷2
这里由于时间关系，我们就不多举例证明了。
结论：两个乘数，一个乘以a另一个除以b，乘的数大，积就乘以a÷b的商；除的数大，积就除以a÷b的商。简而言之：有乘有除，谁大依谁，乘大乘商，除大除商。
如果a与b相等，那么a÷b＝1，积不管是×1还是÷1，积不会变，这也就是积不变的规律：两个乘数，一个乘以a另一个除以a，积不变。（a不为0）
以上内容主要是在整数的范围内进行了举例论证，对于五年级的孩子，上面的规律在小数的乘法中也是同样适用的。比如：小数点向右移动2位，也就是扩大100倍，相当于乘以100。
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