π的视觉错

一个有意思的发现:你周围一定能找到一个喝水的大玻璃杯,凭着眼睛的观察,可以判断出玻璃杯的高度和周长哪个更长一些么?

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(1)

不少人和我一样,都直觉地会认为高度大于周长。

但实际情况是周长大于高度。

这是一个有趣的π欺骗了人眼睛的事实。

有朋友还是心存疑虑,那么可以找把软尺进行测量

你说没有尺子,那你伸出中指(别想歪了,我没有那么坏和无聊)和拇指,测一下杯子直径。

一般来讲杯子的高度不到直径的3倍。

为什么是拿3来说事情呢?

因为π的值大约是3.14,而周长也就是直径的3倍多了。这样去比较是比较直观的。

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(2)

视觉错误,人的眼睛在估算圆的周长时会出现这样的错误。

在圆中,周长是直径的2倍,而π的值竟然是和圆的大小无关的一个量。

来自于圆,值又和圆无关,天哪,圆养了一个不认自己的亲儿子!圆肯定很生气

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(3)

用洋葱、千层饼来证明圆的面积公式

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(4)

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(5)

知道圆的周长后,一般就会有一个老师曾经让我们一定要记下来的圆面积公式

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(6)

当时大多数人朋友应该和我一样,属于死记硬背搞下来了,毕竟不怎么复杂的公式。

如果当时老师给出一些这个公式成立的理由,也许会让学习的效果会提升不少,也可能觉得数学会有意思很多。

这个公式不是需要微积分才能搞得明白它的证明么?

不要微积分,试下说明圆的面积,还需要让人信服!当然这些智慧不是来自于我,都是很多前辈们的努力和思考的结晶。我只是把它们搬运来,将这个精彩呈现的给大家,希望大家能够由此看出数学的魅力,能够喜欢这个学科。

证明:下图1示,把圆堪称一系列同心环,如下图按红色的方向,从顶部向下切割这个圆,一直切至圆心处。

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(7)

图1

然后将它展开,形成一个类似三角形的图形,如下图2

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(8)

图2

上面这个三角形的底是(圆的周长),高是.随着同心环的数量不断增加,切开的圆与三角形越来越接近。

所以圆的面积为:

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(9)

该证明的方法是把圆看成一个洋葱。

再给一种圆的面积公式的说明:是把圆看成一个千层饼

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(10)

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(11)

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(12)

随着等分的数量不断增加,每等分的形状与高为r的三角形越来越接近,让最后的图形更像的矩形,因此圆的面积近似地得到为:

有关多边形周长和面积的题(不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式)(13)

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