一、探索性问题
是指对数学问题能在实验、猜想、合情推理的基础上，进行探索和研究，并予以证实；并能在新的情景中正确地表述数量关系，在创造性地思考问题的基础上，对较简单的问题得出一些新颖的结果。
例1 已知角α、β、
为锐角，且
，试求
的值。
解：这类求关系式的值的问题一般的解题策略为，先特值确定所求关系式的一个值，然后猜想所求关系的值为该值，再证明。
首先分别令α、β、都为
，
＝1，于是猜想
的值为1。对猜想的结论进行证明：
证明：左边＝
二、开放性问题
例2. 设函数
，若是偶函数，则t的一个可能值是__________。
解法1：由已知得
又因是偶函数
所以
所以
恒成立
所以
解法2：是由f(x)平移得到的，是偶函数，所以可以设
而
，所以t可以为
例3 已知函数
，试写出它的一个性质__________。
分析：中学数学讨论的函数性质有函数的定义域，值域（包括最大值和最小值），单调性，奇偶性，周期性等，函数是由两个十分常用的函数y＝sinx和y＝cosx组成，在同一坐标系中画出这两个函数的图像即可得到函数f(x)的图像，根据图像便可以讨论该函数的性质。
解：据该函数的图像（图像略）可以得到如下结论：
（1）此函数的定义域是R；
（2）该函数的值域是
；
（3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数；
（4）当且仅当x＝2kπ和x＝
时，该函数取得最大值1；
（5）当且仅当
时，该函数取得最小值
；
（6）在
上是增函数，在
是减函数，在
上是增函数，在
是减函数。
以上各性质只需回答其一。
三、判断真假性问题
例4 采用如下方法判断函数
的奇偶性是否正确。
因为
是奇函数，所以f(x)是奇函数。
解：此解答是错误的。由于简化过程中约去了分子、分母的公因式
，使得
因定义域不同而不是同一个函数，故不能应用约分后的函数直接求约分前函数的奇偶性，本例的正确解答是：
令
，得一特解
的函数值。
因为
，而
无意义。
所以函数f(x)的定义域关于原点不对称。
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
四、模仿解答问题
例5 阅读下面例题解法：实数x、y满足
，
＋
的值。
解：设
，化简后得：
解得
因为
所以
因为
所以
试用上述解法解下列问题：已知
求
的最大值。
解：因为
设
所以
因此当
时，M有最大值
五、运用方程思想解题的问题
例6 已知
。
分析：
，和同角三角比的关系式
联立形成一元二次方程求出
，这样
为一个一元二次方程的两个解，再求
。
解：因为
所以
因为
所以
是一元二次方程
的两个解。
，
，所以
。
例7 已知
且α为第三象限角，求sinα与cosα。
解：
，因为α为第三象限角
所以
由此可得
，
所以
的两个解
所以
六、追溯条件性问题
例8 请你写出一个关于α的等式并加以证明，要使得等式
是你给出的等式中当α＝20°和α＝15°时的情形。
分析：注意到这两个等式中三角比之间的运算方式相同，每个等式中的两个角之间都是相差30°，根据这些特征便可构建一个关于α和α＋30°角所满足的等式。
解：命题：
证明：左边＝
说明：归纳概括一系列数学等式所具有的共同性质，从而猜想并证明具有一般意义的数学结论，使得原有的结论成为特例，这种由特殊到一般的推广，是数学研究中常用的方法之一。
七、有关数学建模问题
例9 如图1，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。若BC＝α，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2。
（1）用a，θ表示S1和S2；
（2）当a固定，θ变化时，求
取最小值时θ的值。
图1
解：（1）因为BC＝a，∠ABC＝θ
所以AB＝acosθ，AC＝asinθ，
所以
又因为
所以
所以
（2）
所以
有最小值，最小值为
八、在物理中的应用问题
例10 已知电流I与时间t的关系式为：
（1）图2是
在一个周期内的图像，P（
，0），Q（
，0），试根据图中数据求
的解析式；
（2）如果t在任意一段
秒的时间内，电流
都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少。
图2
解：（1）
（2）因为
。
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