这是高考数学的一道真题，利用导数求单调性并且证明不等式的问题，是高考数学最常见的压轴题之一，题目是这样的：
已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)讨论f(x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b, 证明：2<1/a 1/b<e.
【第一小题是送分题，可以快速解决，只要对函数求导，就可以发现其单调性。依据是：导数大于0时，函数增；导数小于0时，函数减。这个知识点将贯穿全题】
(1)解：f’(x)= -lnx, 当0<x<1时, f(x)是单调增的; 当x>1时, f(x)是单调减的.
【第二小题所给的等式，必须进行一个变形】
(2)证明：由blna-alnb=a-b得，(1-ln(1/a))/a=(1-ln(1/b))/b, 即f(1/a)=f(1/b),
不妨设0<1/a=u<1<v=1/b<e, 【为了下面描述的方便，所以对它们进行换元。至于到底是1/a大还是1/b更大，这是没有关系了，设定就好】
当v≥2时, u v>2; 当1<v≤e-1时, u v<e. 【先给定特殊情况的结论，再证明剩余的情形，这种方法在高考数学压轴题的解题过程中是很常见的。】
当1<v<2时, 0<2-v<1,【这就使得u,和2-v都在f(x)的单调递增 区间上，以便下面利用单调性，比较它们的大小】
记 g(v)=f(u)-f(2-v)=f(v)-f(2-v), 【构造辅助函数，是关于导数的问题最重要的手段之一。】
因为g’(v)=-lnv-ln(2-v)=-ln(2v-v^2)>0,
所以f(u)>f(2-v), u>2-v, 即u v>2, 【这是函数f在(0,1)上单调递增的性质决定的】
【至此u v>2得证，接下来再证u v<e，这一步很容易出错。一定要把它想明白了哦。】
当e-1<v<e时, 0<e-v<1, 记 h(v)=f(u)-f(e-v)=f(v)-f(e-v), 【这个函数的导数性质不那么好求】
由h’(v)=-lnv-ln(e-v)=-ln(ev-v^2)知, 存在v0>e-1使ev0-v0^2=1,
【其实ev-v^2=1有两个解，另一个小于1，对这道题没有意义，所以不用考虑。至于为什么会有一个解v0=e-1，就要通过解方程之后证明了，但这一步可以省略。之所以要取ev-v^2=1，就是要取导数的零点，这样才能了解h(v)的增减性，以求得它的零点】
因为当v∈(e-1,v0)时, h(v)单调减,当v∈(v0,e)时, h(v)单调增,
所以h(v)<h(e-1)=f(e-1)-f(1)<0,
【来到这里，参考答案就准备给出结果了，但老黄觉得，这里并不严谨，还要考虑h函数在e点的左极限的情况，但这方面涉及到高等数学极限的知识，所以老黄觉得这道题出得有点不够严谨，或者说有点超纲。就参考答案来说，是不够严谨的】
或者 h(v)<h(e-0)=f(e-0)-f(0 0)=0.【h在e是没有意义的，所以取它的左极限。代入h的解析式之后，就得到f(e)的左极限和f(0)的右极限都等于0，所以h(v)仍小于0。】
所以f(u)<f(e-v), u<e-v, 即u v<e, 综上得证！
你觉得这道题怎么样呢？
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