解法①:同构函数
原方程可变为:
x^4-x^2=6
∴x^2(x^2-1)=6
∵6=(±√3)^2[(±√3)^2-1]
令函数f(t)=t^2(t^2-1)
∴f(x)=x^2(x^2-1)
f(±√3)=(±√3)^2[(±√3)^2-1]
∴f(x)=f(±√3)
∴x=±√3
解法②:原方程可变为:
x^4=x^2 6
x^4 2x^2=3x^2 6
∴x^2(x^2 2)=3(x^2 2)
∵x^2 2≠0
∴x^2=3
∴x1=-√3,x2=√3
解法③:原方程可变为
(x^4-9)-(x^2-3)=0
(x^2 3)(x^2-3)-(x^2-3)=0
(x^2 2)(x^2-3)=0
∴x^2=3
∴x1=-√3,x2=√3
解法④:由题意:x≠0,x^2≠0
∴x^2-1-(6/x^2)=0
令6/x^2=a(a>0),∴ax^2=6 ∴x^2=6/a
∴6/a-1-a=0
∴a^2 a-6=0
∴(a 3)(a-2)=0
∴a=-3或a=2
当a=-3时,∵a>0,∴舍去
当a=2时,6/x^2=2,x^2=3,x1=-√3,x2=√3
解法⑤:直接用十字相乘法分解因式
(x^2-3)(x^2 2)=0
∴x^2=3
∴x1=-√3,x2=√3
解法⑥:换元降次
令x^2=a (a≥0)
∴a^2-a-6=0
(a-3)(a 2)=0
∴有a=3或a=-2
当a=3时,x^2=3,x1=-√3,x2=√3
当a=-2时,∵a≥0,∴舍去。
解法⑦:配方
(x^4-2x^2 1) x^2-7=0
(x^2-1)^2 (x^2-1)-6=0
∴(x^2-1 3)(x^2-1-2)=0
∴(x^2 2)(x^2-3)=0
∴(x^2 2)(x √3)(x-√3)=0
∴x1=-√3,x2=√3
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