求函数f(x)的极值点和极值，可以针对一点x=x0来分析。首先，我们要考虑，函数在x=x0是否可导。
1、如果x=x0是f(x)的不可导点，那么就要用极限的第一充分条件判断。函数在x0的某邻域U(x0)内，左增右减，x=x0就是f(x)的极大值点；反之，如果左减右增，x=x0就是f(x)的极小值点。否则，x=x0就不是f(x)的极值点。
(1)用定义判断，如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)大，x=x0就是f(x)的极大值点；反之，如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)小，x=x0就是f(x)的极小值点。
(2)用导数判断，如果在左邻域有f'(x)>0，在右邻域有f'(x)<0，x=x0就是极大值点；在左邻域有f'(x)<0，在右邻域有f'(x)>0，x=x0就是极小值点。
2、如果函数在x=x0可导，就求x0所在的可导区间上的导函数，并且解方程f'(x)=0，得到导函数的零点。假如x0是导函数的零点，x=x0就满足极值的必要条件；如果x=x0不是导函数的零点，x=x0就不是f(x)的极值点。
(1)对可导点x=x0，我们仍可以用第一充分条件来判断。
(2)当然，用得更多的，还是第二充分条件。即通过判断f"(x0)的符号性质来确定x=x0是什么极值点。
若f'(x0)=0,f"(x0)>0，则x=x0是f(x)的极小值点；若f'(x0)=0, f"(x0)<0, 则x=x0是f(x)的极大值点。
3、若f'(x0)=0,f"(x0)=0, 就要运用第三充分条件来判断。对函数求高阶导数，直至f^(n)(x0)不等于0。
(1)此时，如果n是奇数，则x=x0不是f(x)的极值；
(2)如果n是偶数，那么当f^(n)(x0)<0时，x=x0是f(x)的极大值点，当f^(n)(x0)>0时，x=x0是f(x)的极小值点。
下面通过一道例题，来加深对这个知识的理解：
例：求f(x)=(x-1)^3(x 2)三次根号(x^2)的极值点.
解：f(x)在x=0不可导，f(0)=0,
当-2<x<0时, f(x)<0, 当0<x<1时, f(x)<0,
∴x=0是f(x)的极大值点.
f(x)=x^(14/3)-x^(11/3)-3x^(8/3) 5x^(5/3)-2x^(2/3),
f'(x)=14x^(11/3)/3-11x^(8/3)/3-24x^(5/3)/3 25x^(2/3)/3-4x^(-1/3)/3
=x^(-1/3)(14x^4-11x^3-24^2 25x-4)/3【这个多项式一定含有因式(x-1)^2】
=x^(-1/3)(x-1)^2(14x^2 17x-4)/3.
当f'(x)=0时, x=1, 或x=(-17 3根号57)/28, 或x=(-17-3根号57)/28，
f"(x)=154x^(8/3)/9-88x^(5/3)/9-40x^(2/3)/3 50x^(-1/3)/9 4x^(-4/3)/9，
f"(1)=0, f"((-17 3根号57)/28)>0, f"((-17-3根号57)/28)>0, 【可以用近似数来检验，降低难度】
所以x=(-17 3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28都是f(x)的极小值点.
又f"'(1)≠0, ∴x=1不是极值点. 【并不需要求导函数就可以判断，因为如果f"'(1)=0，则f(x)有因式(x-1)^4或没有因式(x-1)^3】
综上, f(x)有极大值点x=0，以及极小值点：x=(-17 3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28.
函数的图像大致如上图.
现在您对求极值的方法，完全掌握了吧！
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