#创作挑战赛#

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(1)

老黄在某平台发表过这样的一个视频作品。证明余切cotx的导数是-(cscx)^2,并且提供了三种证明方法,可见老黄有多用心,结果却被平台的审核人员以答案错误,与主流答案不一致为由拒绝了,实在是太气人了。

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(2)

不讲出这个平台的名字,不是害怕什么,只是不想给他们做广告。受了委屈不发泄几句,心里难平。老黄就趁这个机会给大家分享一下求cotx的导数的三种方法吧。导数本身并不是非常重要,求导的方法才是重中之重。

在没有其它常用导数的支持下,求cotx的导函数,只能借用导数的定义公式。

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(3)

(cotx)'=lim(h->0)(cot(x h)-cotx)/h,然后利用余切等于余弦与正弦的商,把极限化为:

lim(h->0)(cos(x h)/sin(x h)-cosx/sinx)/h,对分母通分相减,就可以得到:

lim(h->0)((sinx∙cos(x h)-sin(x h)∙cosx)/(sin(x h)∙sinx))/h, 其中:

sinx∙cos(x h)-sin(x h)∙cosx=sin(x-(x h))=sin(-h)=-sinh.

因此,极限等于-lim(h→0) ((sinh )/(sin(x h)∙sinx))/h,可以利用积的极限公式,把这个极限分解成两个极限的积:

-lim(h→0) (sinh )/h∙lim(h→0) 1/(sin(x h)∙sinx),前面的极限是第一个重要极限,结果等于1,后面的极限是一个连续函数的极限,直接代入h=0,就可以解得:

(cotx)'=-1/(sin x)^2= -(cscx)^2.

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(4)

其实我们在求cotx的导数之前,在教学中,都是已经求得sinx和cosx的导数的,因此我们也可利用商的求导法则来求cotx的导数。

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(5)

即分母的平方做导数的分母,分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子,做导数的分子。

因此,由(sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx. 就有

(cotx)'=(cosx/sinx)'=(-(sinx)^2-(cosx)^2)/(sinx)^2==-1/(sinx)^2=-(cscx)^2.

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(6)

或者,我们也可以利用tanx的导数,根据函数的倒数求导法则来求cotx的导数。

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(7)

即,函数的倒数的导数,等于原函数的平方分之原函数的导数的相反数。

因此,由(tanx)'=(secx)^2,就可以得到

(cotx)'= (1/tanx)′=-(tanx)′/(tan x)^2=-(sec x)^2/(tan x)^2 = -(cscx)^2.

cot2x的导数是什么(cotx的导数难道不是-)(8)

尽管老黄的证明有理有据,他们仍可以昧着良心拒绝,其无耻之程度,实在令人乍舌。写这样的文章,就不怕他们封老黄的号,封了号,老黄就解脱了。

,