灵机一动
数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。
本期问题来了
NO. 167
最后两数
黑板上从左往右写了1，2，3，…，1000，共1000个自然数，将每次擦掉最左边两个数，然后把这两个数的和写在最右面定义为一次操作，经过998次操作后黑板上只剩下两个数。问：这两个数分别是多少？
来源：题友 @搬砖买别墅
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上期问题回顾
NO. 166
非约数的概率
在2016的全部约数中随机选择两个数（可重复），问这两个数的乘积不是2016的约数的概率是多少？
分析与解答
答案为：17/24
1、对2016进行素因数分解为：
那么2016的约数可表示为
的形式，其中a，b，c为整数且0≤a≤5，0≤b≤2，0≤c≤1。
2、设2016的两个约数为：
其中0≤a₁,a₂≤5，0≤b₁,b₂≤2，0≤c₁,c₂≤1，且都为整数。两个约数的乘积为：
容易知道，当0≤a₁ a₂≤5，0≤b₁ b₂≤2，0≤c₁ c₂≤1时，两个约数的乘积xy才是2016的约数，否则就不是2016的约数，所以，可以先算xy是2016的约数的概率。
3、考虑a₁ a₂，总共有6²=36种可能取值，而其中满足0≤a₁ a₂≤5的有1 2 3 4 5 6=21种可能。这个结论可以推广到更一般情况：设0≤a₁,a₂≤n，且为整数，则a₁ a₂，总共有(n 1)²种可能取值，且其中满足0≤a₁ a₂≤ n的有1 2 3 … (n 1)=(n 1)(n 2)/2种可能。
所以，很容易得到乘积xy是2016约数的概率为
故，非约数概率为17/24。
更多解答请参看
题友解答精选◎题友 @教数匠的解答：
对2016素因数分解：2016=（2^5）×（3^2）×（7^1），所以因数个数有（5 1）×（2 1）×（1 1）=36个。设因数x=（2^n1）×（3^n2）×（7^n3），因数y=（2^n4）×（2^n5）×（2^n6），其中n1、n4可取0-5，n2、n5可取0-2，n3、n6可取0-1。对于两个因数，考虑一个素因数的指数，比如n1 n4必须仍然属于0-5的一个数，依此类推。设某素因数指数有n种可能，用列表法可知满足条件的有1 2 …… n=n（n 1）÷2，而总共有n^2，概率为（n 1）÷2n。因此积仍是约数概率为7/24，非约数概率为17/24
◎题友 @大成至圣的解答：
这个题目考察的应该是算数基本定理。设自然数n=∏pi^ai(1≤i≤k)，那么对于题目中的约数选择要求，等价于选择所有质因数的指数组合bi(1≤i≤k)，且满足bi≤ai。可以先求两次所选约数乘积仍是n的约数的概率。以pi的指数ai为例，假设两次所选指数分别为bi1和bi2，那么乘积仍是约数要求bi1 bi2≤ai，这个概率计算很容易Pi=(1 2 ……ai 1)/(ai 1)^2=(ai 2)/2(ai 1)。对于1≤i≤k，只需要把每一个Pi相乘，最后要求的概率等于1减去该数就可以了。即P=1-∏(ai 2)/2(ai 1)(1≤i≤k)。2016=2^5×3^2×7，那么P=1-7/12×2/3×3/4=17/24。
◎题友 @Lin-匯丰的解答：
17/24。先将2016分解为2^5×3^2×7，则其约数可表示为p=2^a×3^b×7^c，其中a、b、c均为自然数且满足a≤5，b≤2，c≤1。任取2016的两个约数p1和p2相乘得p1×p2=2^(a1 a2)×3^(b1 b2)×7^(c1 c2)，若p1×p2是2016的约数则必须同时满足a1 a2≤5，b1 b2≤2，c1 c2≤1，易得其概率为：7/12×2/3×3/4=7/24，故其乘积不是2016约数的概率为：1-7/24=17/24。
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