请看由 [遇见数学] 翻译小组译制的《欧拉恒等式》视频跳转链接, 里面讲到了如何证明欧拉等式, 推荐观看. 下是 [遇见数学] 在悟空问答回答网上朋友的一篇文章(什么是 e), 这里整理出来也分享给大家.
e (自然常数, 也称为欧拉数Euler's Number, 以瑞士数学家欧拉命名)是自然对数函数的底数. 它数学中最重要的常数之一也是一个无理数, 就是说小数点后面无穷无尽, 永不重复......
e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274......
与我们更熟知的两个无理数 Pi 和 √2 不同, 它不是由数学家由几何问题上发现而来的, 而出自一个金融问题, 是用来表示增长率和变化率的常数. 但是它为什么会和增长率有关呢? 让我们回到来 17 世纪, 看看发现 e 的第一人：数学家雅各布·伯努利以及他所研究的这个问题.
e 与复利问题
雅各布·伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象: 假设在银行存了 1 $ , 而银行提供的年利率是 100%, 也就是说 1 年后连本带息, 你会得到 2 块钱, 这个非常容易理解. 那么再假设半年就计算一次利息, 半年利率为 50% , 这种方案最终的收益会不会比前一种更好呢? 计算如下:
这样看来一年后共会获得 2.25 块钱. 恩, 看起来不错啊. 那现在计算利率周期如果再短一些会怎么呢? 再来假设每个月结算一次呢? 月利率为 1/12 , 最终得到大约 2.61304 块钱, 这个方案会又好一些.
现在可以看出这样的规律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期, 变为每周计算, 计息的次数就是 52 次 .
甚至可以计算天利率, 或者小时, 秒来计算. 当然年末所获得的钱亦会增多. 不过雅各布.伯努利发现随着 n 趋于无穷, 对于这样的连续复利存在着一个极限:
也就是对于这个式子的极限值将是多少呢?
伯努利知道会是一个 2~ 3 直接的数, 但最终的的结果很可惜他并没有计算出来. 这个问题由 50 年后的莱昂哈德·欧拉借助下面的公式计算出来小数点后 18 位 2.718281828459045235...... 这就是描述增长率的自然常量 e 由来.
欧拉恒等式中 e
既然提到了 e , 通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式(Euler's identity), 被誉为最美的数学公式. 请看下面文章链接, 图解普林斯顿微积分第 08 章: 《指数函数和对数函数》.
e 是无理数的证明
并且欧拉借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数, 观察这个连分数的形式(最左侧) 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10.... 也就是说这种能够一直被处下去的连分数, 那就意味着它是个无理数.
e 在微积分中性质
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟, 所以 e 是描述增长率的自然常量, 并且还是唯一具有下面性质的函数: 这个函数曲线上的每一个点的 y 值, 在该点的斜率和面积都是相同的. x =1 时, 函数值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲线下的面积也是 e.
也正是因为这主要性质, 使得它成为了微积分的你最喜欢见到函数(微积分也正是描述变化率, 极限求和的数学). 所以当在微积分课程中, 凡是遇到 e 的计算, 计算会简单一些.
(完)
个人水平有限, 请各位老师和朋友多多指正帮助! 也请多转发、支持! 最后以来纪念一下欧拉大神吧.
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