作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
1问题引入三年前，朋友ZZN和我讨论如何在维球内撒点。当时我有一个很朴素的想法，三维球内均匀分布的点在视网膜看来并不是“均匀”的，而应该是中间密，边缘疏。向左滑动下图，依次是三种情况：维球面中的均匀分布的点投影前两个坐标，即
图中越是颜色深的点，就越接近球心。不过这并不意味着图中圆心附近就没有高维实心球边界附近的点，它们只不过是被深色的点遮挡而已。
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上图代码如下（R语言）：
f <- function(n=3, N=1000, color="#00CCFF"){par(mai=rep(0,4), oma=rep(0,4), bg = color)plot(0, 0, type = "n", xlim = c(-1.5, 1.5), ylim = c(-1.5, 1.5),axes = FALSE, xlab = "",ylab = "")a = runif(n*N, -1, 1)b = matrix(a*a, n)a = matrix(a, n)c = apply(b, 2, cumsum)[n,]b = which(c<=1 & c>0.75)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="yellow")b = which(c<=0.75 & c>0.5)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="orange")b = which(c<=0.5 & c>0.25)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="red")b = which(c<=0.25)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="purple")b = which(c<=1)print(length(b))}f(10,12000000)
沿着这个想法，继续追问：如果是高维球中的点投影到低维（比如一维直线上），是否也会有这样的现象呢？它的概率密度函数是怎样的呢？
付诸行动，我在维单位球内撒了万个点，并将点投影到一维区间上，然后将划分为个小区间，统计投影点落入各小区间的频率，画出频率分布图。
看到这样的钟形曲线，谁不会蠢蠢欲动呢？
2问题论证一个点出现在某一小区间内的概率，与所决定的维球的“切片”的体积成正比。所以这个问题本质上是一个重积分的问题。
命题：考查将维单位球内均匀分布的点（充分多），投影至一维区间，探究其投影点在此区间上疏密分布之状况。
3解：由重积分的定义，我们可以写出投影点落入区间的概率：
是维球的体积；是——
（类比的情况，即是维球的切片维球，也就是圆， 圆的半径由圆心所在坐标决定的。） 令
于是
做一个有益的变换：
上面这个变换意味着，我们将原先的分布函数横向拉长倍，纵向压缩倍，于是曲线下方面积保持不变。我们转向研究概率密度函数，
先对系数进行估计：由维单位球体积公式，
以及公式估计的系数：
于是有
这就解释了上面的曲线为什么一幅正态模样。更进一步， 将同自由度为的分布相比较，显然有
因为这是替换两个等价变量的结果，
当我第一次看到正态分布的概率密度函数时，那个时候我还是一个初中生，但是它带给我的陌生感、怪异感一直延续至今。每次见到它，我心中总是嘀咕着，为什么它会是这种形状？，，，这些数字都是哪里来的？如果说方程联接了个重要常数，那么正态分布则是体现了这几个数字的可怕，它统治着万事万物从亘古以至于未来；如果说欧拉公式体现的是简洁与和谐之美，那么高斯分布体现的是哥特式的惊人魅力。方程是虚幻的，几何却能给予人切实的掌控感。我觉得一个美的方程背后必定蕴藏着几何的宝藏，而我以上所写的关于正态分布的几何模型，就是这份宝藏中的亿份之一吧！
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