光是如何选择路径的?在公元40年左右,古希腊数学家海伦就提出,光会选择最短距离的路线,这被称为最小距离原理。但是,该原理无法解释光的折射。后来,在大约一千年以后,法国数学家费马提出,光沿着时间最短的路径前进,并以此原理解决了光的折射问题。事实上,凭借着最短时间原理,我们可以解决光学上的几乎所有问题。

在这之后,科学家都在寻找更好的能最小化的量来解决物理上的难题,而拉格朗日率先有了突破。一个粒子从A点到B点,它会遵循怎样的路径?拉格朗日发现,粒子的动能和势能之差与光的最短时间原理有相似之处,粒子所走的路径始终遵循能量差最小化。

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(1)

上式L被称为拉格朗日量,而S被称为作用量。拉格朗日提出,自然界的运行总是以作用量最小为原则,后来这被称为最小作用原理。此外,他还从最小作用原理得出了拉格朗日方程:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(2)

有了这个式子,当我们从牛顿力学转向拉格朗日力学时,在对多体系统的计算中,会发现计算量明显少了很多。最小作用原理不仅可以在经典物理中使用,在量子力学和相对论中也可以使用。在前面的文章中,我们已经推导了拉格朗日方程,也介绍了它在费曼路径积分中的应用,今天我们就用它在广义相对论下推导短程线/测地线。

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(3)

首先,黎曼空间中A和B两点之间可以有无数条线,其中取极值的线称为短程线,线的长度为S:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(4)

其中,相邻两点之间的距离为ds,它也称为线元:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(5)

引入标量型参量λ:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(6)

因此,线的长度S、拉格朗日量和拉格朗日方程的公式变为:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(7)

把拉格朗日量代入拉格朗日方程得到:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(8)

当我们把λ选择为线长S时,

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(9)

所以,(1)式可化简为:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(10)

其中,减号右边的项α=β合并了,又因为:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(11)

所以代入(2)式可继续变形为:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(12)

注意到:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(13)

于是(3)式可继续写成:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(14)

利用克里斯多菲符号与度规之间的关系,我们最终得到:

广义相对论10个方程(利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程)(15)

这就是黎曼空间中的短程线/测地线方程,也就是广义相对论的运动方程,“物质告诉时空如何弯曲,时空告诉物质如何运动”的下半句。顺便说一下,爱因斯坦场方程可以推导出这个运动方程,所以场方程和运动方程实际上是一个东西。

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