切线的判定是最常考的考点之一，从2019年的中考真题中随手一翻即可看到此类相关的题目。以下地区均有涉及：
2019•大庆、2019•济宁、2019•衢州
2019•白银、2019•深圳、2019•扬州
2019•兰州、2019•广东、2019•黄石
2019•荆州、2019•镇江、2019•随州
2019•雅安、2019•鄂州、2019•广元
2019•遵义、2019•西藏、2019•本溪
2019•泸州、2019•宜宾、2019•泰州
2019•枣庄、2019•常德、2019•莱芜
2019•襄阳、2019•安顺、2019•淮安
2019•广安、2019•达州、2019•贵港
2019•恩施州、2019•湘西州
2019•郴州、2019•遂宁
……
【中考真题】
一、两角的和为90°
1．（2019•大庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
【分析】
通过等量代换得两个角的和为90°。
【答案】（1）证明∵D是弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴PD是AC的中垂线，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB ∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA ∠CAB＝90°，
∴∠CAB ∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
二、三角形的内角和
2．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
【分析】
通过圆周角定理得到两个内角和为90°，再得直角。
【答案】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A ∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线．
三、通过全等得到两个角相等
3．（2019•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】
证明全等，得到90°。
【答案】（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
四、通过平行得到90°
4．（2019•湘西州）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
【分析】
先利用垂径定理的推论得到垂直，再根据平行进行转化。
【答案】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，
∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，
∴CD⊥AB，
∵AB∥EF，
∴∠CDF＝∠CGB＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴EF是⊙O的切线．
五、无交点作垂直
5．（2019•贵港）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线．
【分析】
题目未指出圆与直线的交点时，需手动作垂线进行证明。
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO ∠AOB＝∠AOB ∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴AB/OC=AO/OE，
∵OB＝OC，
∴AB/OB=AO/OE，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，
∠BAO=∠FAO，∠ABO=∠AFO，AO=AO，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线．
六、通过相似得到角度相等
6．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC=1/3，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．
【分析】
通过相似也可以得到角度相等，进行转化。
【答案】（3）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC，
∴OE/OC=OC/OF=1/3，
∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOC，
∴∠OCF＝∠DEC＝90°，
∴CF是⊙O的切线．
七、勾股定理的逆定理进行证明
7．（2013•广州）已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD＝OA．
（1）当OC=2√2时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
【分析】
已知三角形的三边，利用勾股定理的逆定理来证明90°。
【答案】（1）证明：连接OD，如答图①所示．
由题意可知，CD＝OD＝OA=1/2AB＝2，OC=2√2，
∴OD² CD²＝OC²，
由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【总结】
切线是初中阶段的重点、热点，主要是圆的切线。
其实抛物线也有切线。到了高中还有椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线，以及函数图象的切线。
圆的切线有两个角度：
圆的切线有几个角度：
①交点个数；
②垂直半径，也就是证明90°；
③到圆心的距离为半径，也就是长度。
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