以“无穷”作为桥梁，用想象力来驱动，联通了“曲”和“直”，进而以直代曲破解了一些“曲”的谜底。
然而，“无穷”这一利器，却自带其危险性。
如果把“无穷”落地，变成现实存在的实无穷，则会让推理陷入逻辑瘫痪。
以圆和圆的内接多边形为例，圆的内接多边形边数越多，就越接近圆。
这是事实，但是是否可以说成 圆就是一个有无穷多条、无穷短的边的多边形呢？
不能！虽然想这么说的诱惑很大。
如果圆被说成是一个边长无穷短的无穷多边形，那么它的边长究竟多长呢？无穷短可以认为是零吗？
若是零的话，那么这个被看成无穷边形的圆的周长，应该是无穷（边数）乘以零（边长）。
现在假设另有一个周长加倍了的圆，依据上述说法，它是一个新的边长无穷短的、无穷多边形，新圆的周长仍然应该是无穷（边数）乘以零（边长）。
以此类推，该假设下，无穷乘以零，可以成为任意大小不等的圆的周长！
这结论显然立不住，既然无穷乘以零没有一致性方法，那么，圆自然是不能看作为边长无穷短的无穷边形了。
类似的例子不胜枚举。
在任何有限的阶段，你是你，我是我，你永远成不了我，我也永远代替不了你。唯有借着“无穷”这个桥梁，在想象力的尽头，你我便会和了。
除数为0的禁忌数学作为全人类共通的语言，世界各地的学生都知道，0是不可以做除数的，而且这个禁忌是贯穿我们学数学和用数学的始终的。
除数为0的根源，其实是“无穷”。
两个数相除，除数越小，商越大。
除数无限趋近0，商则无限趋近无穷大。
然而，问题出在当除数无限趋近0时，不论被除数大小是多少，只要是有限的数，其商总是无限趋近无穷大。
被除数等于商乘以除数，除数为0时，任意有限大小的被除数，都等于无穷乘以0。
也就是说，无穷乘以0可以是任意数，出现了上述把圆看成无穷多边形后 类似的悖论。
在井然有序的数学世界里，这无异于逻辑和推理的灾难。
实无穷之罪致使我们陷入这种混乱的本质，是我们的惯性思维，把“无穷”理解成了一个可到达的特殊数字，好比假装可以真实到达极限。
早在公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德，就强烈反对这种“实无穷”，并且认为只有“潜无穷”才有意义。
“实无穷”是把“无穷”看成现实存在的，已经生成了的对象；而“潜无穷”则是把“无穷”看成一种过程，一种永远处于生成状态之中的过程。
在上述圆的内接多边形描述中，边数可以是任意多的，但任意多也总是有限的，便可以保证每个边长再小也不可能是0，那么这种做法是完全可行的，也不会带来任何逻辑问题。
而禁忌的做法是，边数继续扩展下去，直到边数成了无穷多个，那么每个边长长度都成了0，进一步自然而然就推断出了 无穷乘以0可以是任意数的悖论。
因此，历史上明确区分“实无穷”和“潜无穷”的第一人——亚里士多德，不允许在数学和哲学中使用“实无穷”。而在随后漫长的两千余年里，先贤的这条“法令”，得到了数学家们的支持。
当19世纪的柯西和魏尔斯特拉斯，建立了严格的极限理论，“潜无穷论”在数学中更是占据了主导地位。直到19世纪末，康托尔建立的集合论，使得“实无穷”重新成为数学研究的对象。
“无穷”的渊源在史前时期的黑暗角落里，有人意识到数字是无尽的。伴随着这样的想法，“无穷”便诞生了，它是我们心灵深处某些玄妙又模糊的数字对应。
“无穷”也是我们的很多梦想、恐惧和未解之谜的核心：宇宙有多大？永远有多远？宏观有多宏？微观有多微？
几千年来，在人类思想的每一个分支，从抽象的宗教、哲学，到相对具体的科学、数学，“无穷”一直困扰着世界上最优秀的大脑。
它被放逐和取缔，人们对它避之不及，始终把它视为一个危险的符号或者概念。
布鲁诺被烧死在火刑柱上，罪名是他认为上帝以其无穷的力量创造了不计其数的世界。
“潜无穷”关于极限的表达——和友情提示：看见式子就觉得添堵的朋友，请直接跳过这段吧，抱歉！
还是从最为熟知的圆引入。
设有一圆，先做内接正六边形，把它的面积记为A1，再做内接正十二边形，其面积记为A2，如此下去，每次边数加倍，其内接6*2^(n-1)边形的面积记为An (n 为自然数)。
于是，就得到一系列内接正多边形的面积A1，A2，A3，... ，它们构成一列有次序的数。
当 n 越大，内接正多边形与圆的面积相差就越小，从而以An 作为圆面积的近似值也越精确。
但是，无论 n 取得如何大，只要 n 取定了，An 终究只是多边形的面积，而不是圆的面积。
再次请出“无穷”，让n 无限增大（记为,读作 n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，则内接正多边形无限接近于圆，同时An 也无限接近于某一个确定数值，这个无限接近的确定数值就理解为圆的面积，也是序列A1，A2，A3，... 的极限。
数列：如果按照某一法则，对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列，就叫做数列，简记为数列{}。
数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项叫做数列的通项。
数列极限的定义——语言描述。
设{}为一数列，如果存在常数,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数,使得当时，不等式恒定成立，那么就称常数为数列{}的极限，或者称数列{}收敛于常数，记为，或者.
如果不存在这样的常数，就说数列{}没有极限，也说数列{}是发散的。
！*定义中有两点至关重要。
其一、正数可以任意给定非常关键，因为只有这样，才能表达出与无限接近的意思。
其二、定义中的正整数与任意给定的正数有关，也就是取定不同的，便对应不同的，但这样的一定存在。
给数列{}的极限为一个几何解释：
由，得出, 即
因此，当时，所有的都落在开区间内，而只有有限个（至多有个）落在此开区间外。
函数极限的定义——语言描述。
设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数,使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作，或者( 当).
！*定义中表示式，所以当时函数有没有极限，与在点处是否有定义并无关系。
