“无穷”的危险属性

以“无穷”作为桥梁,用想象力来驱动,联通了“曲”和“直”,进而以直代曲破解了一些“曲”的谜底。

全球十大冷门数学 数学当中神秘又颇具魅力的(1)

然而,“无穷”这一利器,却自带其危险性。

如果把“无穷”落地,变成现实存在的实无穷,则会让推理陷入逻辑瘫痪。

以圆和圆的内接多边形为例,圆的内接多边形边数越多,就越接近圆。

这是事实,但是是否可以说成 圆就是一个有无穷多条、无穷短的边的多边形呢?

不能!虽然想这么说的诱惑很大。

如果圆被说成是一个边长无穷短的无穷多边形,那么它的边长究竟多长呢?无穷短可以认为是零吗?

若是零的话,那么这个被看成无穷边形的圆的周长,应该是无穷(边数)乘以零(边长)

现在假设另有一个周长加倍了的圆,依据上述说法,它是一个新的边长无穷短的、无穷多边形,新圆的周长仍然应该是无穷(边数)乘以零(边长)

以此类推,该假设下,无穷乘以零,可以成为任意大小不等的圆的周长

这结论显然立不住,既然无穷乘以零没有一致性方法,那么,圆自然是不能看作为边长无穷短的无穷边形了。

类似的例子不胜枚举。

在任何有限的阶段,你是你,我是我,你永远成不了我,我也永远代替不了你。唯有借着“无穷”这个桥梁,在想象力的尽头,你我便会和了。

除数为0的禁忌

数学作为全人类共通的语言,世界各地的学生都知道,0是不可以做除数的,而且这个禁忌是贯穿我们学数学和用数学的始终的。

除数为0的根源,其实是“无穷”。

两个数相除,除数越小,商越大。

除数无限趋近0,商则无限趋近无穷大。

然而,问题出在当除数无限趋近0时,不论被除数大小是多少,只要是有限的数,其商总是无限趋近无穷大。

被除数等于商乘以除数,除数为0时,任意有限大小的被除数,都等于无穷乘以0。

也就是说,无穷乘以0可以是任意数,出现了上述把圆看成无穷多边形后 类似的悖论

在井然有序的数学世界里,这无异于逻辑和推理的灾难。

实无穷之罪

致使我们陷入这种混乱的本质,是我们的惯性思维,把“无穷”理解成了一个可到达的特殊数字,好比假装可以真实到达极限。

早在公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德,就强烈反对这种“实无穷”,并且认为只有“潜无穷”才有意义。

“实无穷”是把“无穷”看成现实存在的,已经生成了的对象;而“潜无穷”则是把“无穷”看成一种过程,一种永远处于生成状态之中的过程。

在上述圆的内接多边形描述中,边数可以是任意多的,但任意多也总是有限的,便可以保证每个边长再小也不可能是0,那么这种做法是完全可行的,也不会带来任何逻辑问题。

而禁忌的做法是,边数继续扩展下去,直到边数成了无穷多个,那么每个边长长度都成了0,进一步自然而然就推断出了 无穷乘以0可以是任意数的悖论。

因此,历史上明确区分“实无穷”和“潜无穷”的第一人——亚里士多德,不允许在数学和哲学中使用“实无穷”。而在随后漫长的两千余年里,先贤的这条“法令”,得到了数学家们的支持。

当19世纪的柯西和魏尔斯特拉斯,建立了严格的极限理论,“潜无穷论”在数学中更是占据了主导地位。直到19世纪末,康托尔建立的集合论,使得“实无穷”重新成为数学研究的对象。

“无穷”的渊源

在史前时期的黑暗角落里,有人意识到数字是无尽的。伴随着这样的想法,“无穷”便诞生了,它是我们心灵深处某些玄妙又模糊的数字对应。

“无穷”也是我们的很多梦想、恐惧和未解之谜的核心:宇宙有多大?永远有多远?宏观有多宏?微观有多微?

几千年来,在人类思想的每一个分支,从抽象的宗教、哲学,到相对具体的科学、数学,“无穷”一直困扰着世界上最优秀的大脑。

它被放逐和取缔,人们对它避之不及,始终把它视为一个危险的符号或者概念。

布鲁诺被烧死在火刑柱上,罪名是他认为上帝以其无穷的力量创造了不计其数的世界。

“潜无穷”关于极限的表达——和

友情提示:看见式子就觉得添堵的朋友,请直接跳过这段吧,抱歉!

还是从最为熟知的圆引入。

设有一圆,先做内接正六边形,把它的面积记为A1,再做内接正十二边形,其面积记为A2,如此下去,每次边数加倍,其内接6*2^(n-1)边形的面积记为An (n 为自然数)。

于是,就得到一系列内接正多边形的面积A1A2A3,... ,它们构成一列有次序的数。

n 越大,内接正多边形与圆的面积相差就越小,从而以An 作为圆面积的近似值也越精确。

但是,无论 n 取得如何大,只要 n 取定了,An 终究只是多边形的面积,而不是圆的面积。

再次请出“无穷”,让n 无限增大(记为,读作 n 趋于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,则内接正多边形无限接近于圆,同时An 也无限接近于某一个确定数值,这个无限接近的确定数值就理解为圆的面积,也是序列A1A2A3,... 的极限

数列:如果按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列,就叫做数列,简记为数列{}。

数列中的每一个数叫做数列的项,第 n 项叫做数列的通项。

数列极限的定义——语言描述

设{}为一数列,如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得当时,不等式恒定成立,那么就称常数为数列{}的极限,或者称数列{}收敛于常数,记为,或者.

如果不存在这样的常数,就说数列{}没有极限,也说数列{}是发散的

!*定义中有两点至关重要。

其一、正数可以任意给定非常关键,因为只有这样,才能表达出与无限接近的意思。

其二、定义中的正整数与任意给定的正数有关,也就是取定不同的,便对应不同的,但这样的一定存在。

给数列{}的极限为一个几何解释:

由,得出, 即

因此,当时,所有的都落在开区间内,而只有有限个(至多有个)落在此开区间外。

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函数极限的定义——语言描述

设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记作,或者( 当).

!*定义中表示式,所以当时函数有没有极限,与在点处是否有定义并无关系。

全球十大冷门数学 数学当中神秘又颇具魅力的(3)

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