我们给出一道实例,通过例题来帮助理解

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(1)

做题之前先审题,第一小题很容易就做出来了

题目给出了两个信息,第一个,是矩阵A有3个不同的特征值

由此可以得到矩阵A可以对角化,与对角矩阵P{λ1,λ2,λ3}相似

第二个条件,就是α3=α1 2α2

可以得到

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(2)

图二

由此可知,A的其中一个特征值便为0

由于三个特征值不同,说明其他两个特征值都不为零,那么它的对角矩阵P为{λ1,λ2,0}

因为相似,所以可以得到r(P)=r(A)=2

第二小题,要根据第一小题来做了

要求Ax=β的通解,我们先来看看Ax=0的通解

很明显,通过条件α3=α1 2α2可以得到Ax=0的通解,如下图所示

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(3)

图三

再根据β=α1 α2 α3可以得到

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(4)

图四

即为

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(5)

图五

那么最后就可以得到Ax=β的通解为

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(6)

图六

详细解题过程如下图所示

线性代数系数矩阵的秩(特征值与矩阵的秩之间的关系)(7)

图七,详细步骤如图

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