图象与导数的用法（数系与算术数轴与复平面）

科技需要能够精确描述（量化描述与分析），规律需要公式来推理和表达，这都离不开数学。

世间万事万物都是从无到有，数学的概念与是一步一步不断积累而来的。

最早用来计量物体个数的数字抽象叫自然数（N）。

自然数（N）可用集合{1,2,3,……,n,……}来表示。此时的数系只有自然数。

自然数适用各种加法运算，称为加法封闭，如3 4＝7。

但用自然数来做减有时就会存在问题，如4-7的结果无法用自然数来表示。

后为人们在数系中加入了0、负数（负整数），与原有的自然数一起称为整数（Z）。

整数（Z）可用集合{……，-n,……,-3,-2,-1,0,1,2,3,……,n,……}来表示。

整数适用加、减运算，满足减法封闭，如4-7=-3。

整数无法确保两个数相除的结果还是一个整数，如3÷4的结果无法用一个整数来表示。

为了确保数系的除法封闭，人们抽象出了分数（小数）的概念。整数和分数一起构成有理数Q。

有理数并非其多么的有理，是从英文翻译过来的一个名词，对应的英文是rational，该词有成比例、有理性的意思，当时翻译成了有理数，后来也就约定俗成了。你如果把它理解为比例数，会更加直观。

其集合可以表示为{x|x=p/q, p,q∈z}。

有理数适用所有加、减、乘、除运算，满足了除法封闭，如3÷4 ＝ 3/4 = 0.75。

至此，我们的数系可以完全满足加、减、乘、除的四则运算了。

但是，如果我们的数系用一个数轴来表示的话，数轴除了有理数以外，应该还有空隙存在。在离散的数字中间，总会有更小的数字存在。

4 无理数与正数开方封闭

对于一个等腰为1的正三角形的斜边的边长，我们无法用有理数来表示。也就是说，x*x = 2，x是一个有理数吗？也就是说，有理数开方的结果不一定是有理数。

于是人们引用了一个根号√的符号，用√2来表示一个等腰为1的正三角形的斜边的边长，表示某一个数x乘以x的结果为2，x=√2。

如圆周与直径的比例，不是一个有理数，我们用π=3.1415926……来表示；

如表达式(1 1/n)^n(n→∞)，无法用一个有理数来表示，我们表示为e=2.71828……

上述类似的数称为无理数，即无法用有理数（分数）来表示的数。

无理数和有理数统称不实数（R），实数如实数轴一一对应。

实数解决还只是解决了正数开方的问题。

5 虚数的引入是一元三次方程求解的需要

如果是负数开方，有没有意义或有没有需要呢。

从上面人们对数系的抽象过程可以知道，数是因为人们计算的需要而抽象出来的。

负数开方有可以满足的计算需要吗？答案是有。

人们在寻找一元二次方程ax² bx c=0（a≠0）的解的过程中，找到了一般的用系数表示的求解公式：

人们在研究一元三次方程的过程中，也找到了一般求解方法的公式。

一般的一元三次方程可写成ax³ bx² cx d = 0 (a ≠ 0 )的形式。这个式子除以a，并设x=y-b/3a，则可化为如下形式：y³ py q = 0，其中p的值↓

其中q的值↓

所以讨论ax³ bx² cx d = 0 (a ≠ 0 )的解的问题，转而可以转变为讨论x³ px q = 0的问题。

当试图用该公式解方程x³-15x-4=0时，可得：

上式出现的负数根，而方程x³-15x-4=0通过图像可知，其不但有解，而且有三个实数解。

对于下式右边的表达式：

卡尔达诺在书中提出并解决过类似的问题：对于x y=10, x*y =40，可以解得x=5 √-15，y=5-√-15。如果将√－1当做一个数字（后来称为虚数i），并赋了i（√－1）同样的代数和算术运算规则，那(5 √-15)(5-√-15) = (5 i√15)(5-i√15) = 5²-i²(√15)²=40。卡尔达诺虽然对虚数i进行了一些探讨，但始终还是没有解决负数开根号的问题。

6 通过与负数的对比来理解虚数

方程式x² = 9也可以表示成：

1·x² = 9

x应该是什么，使得它自乘两次后，1变成了9？

两个答案就是“x＝3”与“x＝-3”：这就是，你“乘以3”或者“乘以3，然后翻转”（翻转或取反是乘以负数的另一种解释）。

接下来让我们考虑以下x² = -1，这其实就是：

1·x² = -1

x应该是什么，可以使它自乘两次后，1变为-1？

我们不可能乘以一个正数，因为乘以正数以后还是正数

我们不能乘以一个负数两次，因为相乘两次后又会变为正数。

但如果是……旋转呢！这听起来很疯狂，但是如果我们假设x被“转过了90度”，然后乘以x两次那就是旋转180度，也就是把1翻转成了-1！

耶！让我们继续深入考虑下去，我们可以把它绕其他方向旋转（比如说顺时针方向）来从1变为-1.这就是“负向”旋转或者是称作乘以-i：

如果我们乘以-i两次，我们把1变成-i，然后-i变成-1，所以-1确实存在两个根：i与-i。

这个很酷。我们有一些答案，但是这说明了什么呢？

i是一个“新的想象出来的维度”，来标记数字

i（或者-i）就是指数字“被旋转”

乘以i就是沿逆时针方向旋转90度

乘以-i就是沿顺势正方向旋转90度

无论那个方向，旋转两次就是-1：这就把我带回到“传统”的正负维度上去了。

数字是二维的。虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。

我们会问“怎样通过两步，把1变成-1”，然后我们就找到了答案：把它旋转90度。这确实是一个奇怪但是又让我们耳目一新的方法来理解数学。而且它很有用。（顺便提一下，这种用几何的方法解释复数的方法直到i被发现几十年后才被引入）

此外，逆时针为正是人们的一个约定俗成习惯——其他表示也是可以的。

让我继续深入细节。当我们连续乘以负数时（比如说-1），你就得到一种模式：

1，-1，1，-1，1，-1……

因为-1并不改变数的大小，只改变符号，你就这样的反复进行翻转。比如说数“x”，你就会得到：

x，-x，x，-x，x，-x……

Ok。现在让我们看看如果乘以i后会发生什么？

用图表示出来就是：

每四次旋转循环一次。

虚数有一个直观化的解释：它把数字“旋转”，就像负数把数字做了“镜像”一样。

负数曾被认为是荒谬的，虚数也曾被认为是虚构的，两者也有可以类比的地方：

7 复数是实数与虚数在数轴上的相互投影

一个数字可以既是“实的”又是“虚的”吗？

确实能。谁说我们必须旋转90度？如果我们一只脚在实数范围内，另一只在虚数范围内，就像这样：

我们处在45度角的为止，实数部分的大小与虚数部分的大小相当（1 i）。这就像一个热狗既有芥末酱也有西红柿酱——谁说你只能选一种的？

事实上，我们可以任意选取实数与虚数组成一个三角形。角度就是“旋转的度数”。复（合）数就是给这种数字准备的一个相当完美的名字。它们写作 a bi，其中

a是实数部分

b是虚数部分

8 复数的加法与减法

我们通常见到的加法可以被认为是“移动”一段数字而得到。复数的加法也可以这样模拟，不过我们有两个维度（实数与虚数）可以移动。举个例子：

、

(3 4i)与(-1 i)相加就可以得到2 5i。

再一次的，这种可视化的解释帮助我们理解“独立的部分”是如何组合在一起的：实部与虚部各自处理再组合就可以了。

减法就是加法的逆——就是把它向相反的方向移动。减去(1 i)就是加上-1·(1 i)，或者是加上(-1-i)。

9 复数的乘除

(3 4i)(1 i)=3 4i 3i 4i ² =3-4 7i=-1 7i

乘以一个复数就是绕着它旋转。

原始指向：向东3个单位，向北4个单位＝3 4i

逆时针旋转45度角后的指向＝乘以1 i

角度相加：角度（z）＝角度（x） 角度（y）

长度相乘：|z|=|x||y|

这就是说，z的角度是x的角度与y的角度的和，而长度就是它们的乘积。

除法就是乘法的逆运算。就像减法是加法的逆运算一样。复数相除时（x/y），我们可以知道：

角度相减：角度（z）＝角度（x）－角度（y）

长度相除：|z|=|x|/|y|

10 复数的共轭

“复数共轭”是实部相等，但是虚部是一个“镜像”。复数共轭或者说“想象的一种反射”有着相同的长度，但是角度相反！

复数的共轭都是把它们的虚部翻转而已：

z＝a bi

它的复数共轭就是：

z* ＝a-bi

11 复数的实际应用

复数在电力方面应用很广泛，在热力学反面也有很多用途，在力学方面更加广泛，流体力学里面设计飞机的翼型问题，还有固体力学里面的弹性理论都是有力的工具。

12 笛卡尔坐标系

在笛卡尔以前，几何和代数是两门科学，几何研究图形，图形比较直观，代数研究数与代数方程，比较抽象。笛卡尔不满意这两门科学孤立研究的抽象性，企图使二者联系起来，并使它们具体化。他通过他所设计的坐标系统标示法，把“点”和“数”联系起来。笛卡尔对于变数的深入研究，证明几何问题可以归结为代数问题，在求解时可以运用全部代数方法。从此，变数被引进了数学，成为数学发展中的转折点，为微积分的出现创造了条件。笛卡尔坐标系被广泛地应用在工程技术和物理学领域中。

13 函数：描述和分析变量之间的关系

变化是万事万物的常态，我们可以用变量来表示，变量之间的某些关系可以描述为一种函数关系。

函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域，这是函数的传统定义。

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A，这是函数的集合定义。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

14 求最值和面积都可以转化为求变量之间的变化率问题

追求最优是生物的天性，如何求函数的最大值、最小值？如何求瞬时速度？如何求曲线的切线？如何计算坐标系中曲线投影到x轴的面积？这些问题都可以归结为求一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即“变化率”的问题。这也就是函数的导数概念。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

－End－

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