matlab 数据拟合解释(数学建模matlab之插值与拟合)(1)

1. 拉格朗日多项式插值
  1. 了解概念

    插值多项式

    插值节点

    范德蒙特(Vandermonde)行列式

    截断误差、插值余项

  2. 特点

  3. 函数实现

    function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

设n个节点数据以数组x0,y0输入(注意Matlat的数组下标从1开始),m个插值点以数组x 输入,输出数组y为m个插值。

则可用

y = lagrange(x0,y0,x)

调用。

2. 牛顿(Newton)插值
  1. 了解概念

    差商

    差分

    等距节点插值公式(Newton向前插值公式)

  2. 特点

    每增加一个节点,插值多项式只增加一项,因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

  3. 函数实现

3. 分段线性插值
  1. 了解概念

    插值多项式的振荡

  2. 特点

    将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷:随着插值次数n增加,虽然误差减小,但插值函数光滑性变坏,有时会出现很大的振荡。

    实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。

y=interp1(x0,y0,x,'method')

  1. method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:

  2. 函数实现

    一维插值函数interp1:

4. 埃尔米特(Hermite)插值
  1. 了解概念

  2. 特点

    如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一

    阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。

    这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

  3. 函数实现

    设n个节点的数据以数组x0(已知点的横坐标), y0(函数值), y1(导数值)输入(注意Matlat 的数组下标从1 开始),m 个插值点以数组x 输入,输出数组y 为m个插值。

    function y=hermite(x0,y0,y1,x)

5. 样条插值
  1. 了解概念

    样条函数

    关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间

    二次样条函数 三次样条函数

  2. 特点

    有些问题对插值函数的光滑性有较高要求,要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。

  3. 函数实现

    y=interp1(x0,y0,x,'spline'); y=spline(x0,y0,x); pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)。

6. B样条函数插值方法
  1. 了解概念

    磨光函数

    等距B样条函数

    一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值

  2. 特点

    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。

  3. 函数实现

7. 二维插值
  1. 了解概念

    插值节点为网格节点

    插值节点为散乱节点

  2. 特点

  3. 函数实现

插值节点为网格节点

二次样条插值:

z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

其中 x0,y0分别为m维和n维向量,表示节点,z0为n × m维矩阵表示节点值,x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量,即一个是行向量,另一个是列向量,z为矩阵,它的行数为y的维数,列数为x的维数,表示得到的插值,'method'的用法同上面一维插值。

三次样条插值:

pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})

其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量,z0 为m × n 维矩阵,z 为矩阵,它的行数为x的维数,列数为y 的维数,表示得到的插值,使用方法同一维插值。

插值节点为散乱节点

已知n个节点:(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ,求点(x, y)处的插值z:

ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)

其中X、Y、Z 均为n 维向量,指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标,返回值ZI为网格(XI,YI)处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量,即一个是行向量,另一个是列向量。

最小二乘法的Matlab 实现
  1. 解方程组方法

    A = R \Y

    x=[19 25 31 38 44]';

a=polyfit(x0,y0,m)

  1. 多项式拟合方法

y=polyval(a,x)

  1. 计算。

    其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据,m 为拟合多项式的次数,输出参数a 为拟合多项式y=amxm … a1x a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。

    多项式在x 处的值y可用

最小二乘优化

在Matlab 优化工具箱中,用于求解最小二乘优化问题的函数有:lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

  1. lsqlin 函数

x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)

  1. lsqcurvefit 函数

X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)

X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)

  1. lsqnonlin 函数

  2. lsqnonneg 函数

End.

作者:小潘东

來源:简书

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