数学的理解 一般性原理 21黎曼、罗巴切夫斯基几何:平行公理的疑惑

先做一点准备工作。

度量的概念是怎样炼成的

笛卡尔在欧几里得空间建立了直角坐标系,开创了解析几何使得(以平面直角坐标系为例)空间点的坐标和有序数偶(x, y)之间建立了一一对应的关系。于是,两点A(x1, y1)、B(x2, y2)之间的距离可以用下面的代数表达式来计算:

黎曼几何数学教学(数学的理解一般性原理)(1)

这也称为是欧几里得度量。如何具体计算度量(距离),则在很大程度上决定了空间的性质。从上面的式子,不难发现度量(距离)应满足的三个基本性质:

1)非负性:距离总是涉及两个点,距离的大小总是非负的实数:

2)对称性:也就是从A点到B点的距离,等于从B点到A点的距离:

3)满足三角不等式:三角形任意两边之和不小于第三边。

在上述的关于距离的定义,就称为欧几里得度量。抽去欧几里得空间这个背景,那么距离的概念就升华为抽象的度量的概念。

以集合的语言,度量的定义如下。

设d是定义在集合X上的二元函数,它满足:

① 函数值是一个非负实数,即:d(x₁,x₂)≥0,等号仅当x₁=x₂时成立;

② 满足对称性,即:d(x₁,x₂)=d(x₂,x₁);

③ 满足三角不等式:d(x₁,x₂)+d(x₂,x₃)≥d(x₁,x₃)。

那么,d称为是集合X上的一个度量。d叫做度量函数,或者距离函数。x₁,x₂,x₃ 都是集合X的任意三个元素。

集合本来是没有任何结构的。一旦在集合上定义某种结构,就成为了数学的研究对象。度量函数d便在集合上定义了一种度量结构。定义了度量的集合,记作(X,d),称为度量空间。如果d是欧氏(欧几里得)度量,那么(X,d)就是欧氏空间,也就是平面几何成立的空间。只是,这里的欧式空间不仅仅局限于熟悉的三维空间,而是更加一般的n维欧氏空间。不同的度量函数,所定义的度量空间的性质当然会不同。

到了范畴学,度量的概念又进一步升级为范数。随着数学的深入,形象思维将越来越没有生存的空间了。空间到底是什么样子的,就只能通过空间的基本性质来把握,而不是依赖于想象。

欧几里得平行公理

过已知直线外一点,有且只有一条已知直线的平行线。

这个公理直观,很容易接受。然而,历史上许多数学家一直不断地对这个平行公理质疑过。可能你不理解,这有什么好质疑的呢?

回顾一下直线的三要素:连续、一维度量、长度最短。直线的定义里没有涉及任何“面或者平面”的背景。把这个平面的背景擦除,你脑子里那个很具体、很形象的直线就失去了存在的基础。于是,就只剩下抽象思维的余地了。

这样,基于二元逻辑法则,既然有存在平行线的情形,逻辑上,就不能拒绝不存在平行线的情形

类似地,基于二元逻辑法则,有平行线的前提下,既然存在平行线唯一的情况,就可以有不唯一的情形。

再往前,既然可以定义度量空间,从而研究有度量的几何;那不定义度量,研究非度量空间的几何,也就没什么奇怪的了。

几何的分类

现在,不难理解基于二元逻辑法则的几何分类了。

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爱因斯坦的广义相对论的数学基础,就是黎曼几何。所谓时空弯曲就是黎曼几何运用于物理领域取得的成果。黎曼几何,第一次问世,是黎曼求职时的演讲《论作为几何学基础的假设》。听众当然都是大佬级别。他们给予了热烈的掌声,为一点都没听懂而热烈鼓掌。

罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何,又叫双曲几何。在天体理论中有着广泛的应用。罗巴切夫斯基开启了非欧几何的先河。作为趟雷者,在欧洲学术界遭到了疯狂的反对。就连高斯也恐惧于当时的氛围,只在私下场合高度评价罗巴切夫斯基的工作,却从没有在公开场合评价。

拓扑学,是非度量空间的几何,在这个空间里,没有长度、角度这些概念。主要研究几何元素之间的关联或结合关系。连续性的研究是它的一个重要内容。如果有注意的话,欧氏空间的许多定理,就是拓扑型定理。例如相交直线确定一个点;不在一条直线上的三点确定一个平面。这样的定理不涉及度量。

最后,还有一类几何,叫分形几何,揭示的是一个奇妙的世界。超级的对称和无限的重复是分形几何的主旋律。和其它几何最大的区别,这个几何空间是非整数维的。

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