高斯定理的具体方法 高斯定理应用举例

今有一均匀带电球面，半径为R，总带电量为Q。欲求离球心r远处任一点的场强。从场源电荷的分布可知电场分布呈球形对称，场强方向与球面法线方向一致且在距离中心等远各处的场强大小相等。

今以球心O为中心，r为半径作一个球形高斯面S，欲求场强之点落在此高斯面上，代入式，得通过高斯面的电通量:

这表明，在均匀带电球面外部可视其为一个电荷集中于球心的点电荷，而在其内部则各处场强均为零。均匀带电球面的电场中各点的场强与该点距球心距离的关系如图。显然，对于球形对称分布的电场都有类似的分析。

今有一无限大均匀带电平面，其电荷面密度为σ，欲求其周围电场的场强。由于场源电荷在无限大平面上均匀分布，在其两侧附近的电场则应均匀对称地分布，即场强方向与带电平面垂直、距带电平面等远处的场强大小相等。

于是可作一个侧面与带电平面垂直，两底面S 1、S 2距离带电平面等远的正圆柱形高斯面,与带电平面相截之截面为S，如图。

对于高斯面的两底面均有θ=0，对于其侧面则有θ=π／2，通过两底面的电通量均为ES,通过其侧面的电通量则为零。所以，通过高斯面的电通量:

上式表明无限大均匀带电平面附近是一个方向与该平面垂直的均匀电场。

对于两个均匀带等量异号电荷的无限大平行平面之间的电场，利用场强叠加原理，由上述结果便可得到E=σ／ε0或E=4πkσ。这仍然是一个方向与带电平面垂直的均匀电场。而在这两个平行带电面的外部E=0。表明这两个平行带电平面的电场完全集中在它们之间的空间内。这正是平行板电容器提供了均匀电场的缘故。

由以上几个例子可以看出，高斯定理的一个特殊用途在于计算具有某些特殊对称性的静电场的场强，这是很便捷的。