幻方，也称九宫格，宋代数学家杨辉称之为纵横图，是我国一种传统数字游戏。幻方是将从1到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。古时候幻方经常在官府、学堂等场所出见，后来通过印度、阿拉伯等地传到西方，因其奇幻的特性，被称为Magic Square，即"幻方"或"魔方"。
传说上古伏羲氏时，有龙马从黄河里跳出来，背上负着河图；有神龟从洛水里跳出来，背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方，用现代数学语言解释，就是用1~9九个数字，填在九个格子里，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。
洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意。包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物。
最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为"天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇"。远古时代，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这就是"借鉴思维"的开端，这种活化思维的方式已成为现代科学灵感的来源之一。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。从洛书发端的幻方在数千年后更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，并编制出三至十阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，但直到1514年，德国著名画家杜勒才绘制出了完整的四阶幻方。直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符，也把它叫作【Magic Square】。1977年，四阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类文明信息与美好祝愿。
《射雕英雄传》里面有一个情节，郭靖带着受伤的黄蓉四处求高人疗伤，遇见瑛姑。瑛姑也爱好各种奇门术数，但是花了好多年却解不出一个三阶幻方。这个三阶幻方也就是"洛书"，它有三行三列，九个空格分别填上一到九这九个数字，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。
黄蓉是黄老邪的女儿，古灵精怪，自然也精通此道，很快告诉了瑛姑答案。于是瑛姑就告诉郭靖黄蓉可以找段皇爷疗伤。当然瑛姑其实也是为了找段皇爷寻仇。这是后话。其实三阶的幻方太简单了。我倒觉得金庸可以可以把这一段情节改成瑛姑解的是一个五阶幻方，就是五行五列的幻方，甚至是七行七列的幻方，这样花十几年解不出也情有可原，难度大些，瑛姑也不至于显得那么笨。不知道金庸是不是为了衬托黄蓉的聪明？她的口诀是：九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
用数学语言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数，每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等，这个和叫幻和，n叫幻方的阶，这样的数表叫n阶幻方。下面介绍构造幻方的最简单方法。
1.如果一个n×n矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到n的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方．有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题．下面介绍一种构造三阶幻方方法﹣﹣﹣杨辉法：（如图（1））口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"
学以致用：
（1）请你将下列九个数：﹣18、﹣16、﹣14、﹣12、﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2，分别填入方格1中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等；
（2）将方格2中左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等；
（3）将9个连续自然数填入方格3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60；
（4）用﹣3～5这九个数补全方格4中的幻方．
【分析】（1）读题意，按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"，即可得出结论；
（2）按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"，即可得出结论；
（3）根据已知，算出该9个连续自然数，按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"，即可得出结论；
（4）按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"，即可得出结论．
【解答】（1）按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"
得出方格1：
（2）按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"
得出结论：
（3）设9个连续自然数中第5个数为x，由已知可得：9x＝60×3，解得：x＝20．
故这连续的九个数为：16，17，18，19，20，21，22，23，24．
按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出"
得出方格3：
（4）按照口诀："九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出",得出方格4：
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及构造三阶幻方方法﹣﹣﹣杨辉法的应用，解题的关键是读懂题意，按照口诀一步步的变换．本题属于中档题型，有点难度，解题过程中有巧妙的办法，即利用给定的例题，再找出所以填写的9个数的中位数，看二者相差多少，再去给定的四维挺出表格中做相应的变动即可．
2.问题探究：为了探究上述问题，我们不妨从简单的三阶幻方①入手；
探究一:如图②，九个数2，3，4，5，6，7，8，9，10已填到方格中，显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方②，所以构成三阶幻方①的九个数同时加1，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
如图③，九个数﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6已填到方格中，显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方③，所以构成三阶幻方①的九个数同时减3，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
请把九个数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5填到图④的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方④，所以构成三阶幻方①的九个数同时减0.5，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
（1）根据探究一可得任意三阶幻方的性质（1）： ．
探究二：如图⑤，九个数3，6，9，12，15，18，21，24，27已填到方格中，显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方⑤．所以构成三阶幻方①的九个数同时乘3，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
如图⑥，九个数0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5已填到方格中，显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方⑥．所以构成三阶幻方①的九个数同时除以2，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
请把九个数﹣4，﹣8，﹣12，﹣16，﹣20，﹣24，﹣28，﹣32，﹣36填到图⑦的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，构成了一个三阶幻方⑦．所以构成三阶幻方①的九个数同时乘﹣4，所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方．
（2）根据探究二可得任意三阶幻方的性质（2）：_____________ ．
性质应用：
6，8，10，12，14，16，18，20，22这九个数能否构成三阶幻方？请在图8中用三阶幻方的性质进行说明．
【分析】（1）根据图②、③的作法将九个数同时减0.5填到图④中相应位置，类比等式性质得出规律即可；
（2）根据图⑤、⑥的作法将九个数同时乘﹣4填到图⑦相应位置，可类比等式的性质得出规律；将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数先乘以2、再加上4即可得出结论．
【解答】（1）如图④，
由题意知，三阶幻方的性质（1）构成三阶幻方的九个数，每个数同时加或减同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方．故答案为：构成三阶幻方的九个数，每个数同时加或减同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方；
（2）如图⑦，
由题意得：三阶幻方的性质（2）构成三阶幻方的九个数，每个数同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方．故答案为：构成三阶幻方的九个数，每个数同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方．
先将三阶幻方的九个数1，2，3，4，5，6，7，8，9，每个数都乘2，得2，4，6，8，10，12，14，16，18，
根据三阶幻方性质②，2，4，6，8，10，12，14，16，18能构成三阶幻方．
再将2，4，6，8，10，12，14，16，18，每个数都加4得6，8，10，12，14，16，18，20，22，
根据三阶幻方性质①，6，8，10，12，14，16，18，20，22能构成三阶幻方．
所以，6，8，10，12，14，16，18，20，22这九个数能构成三阶幻方，
如图⑧，
【点评】本题主要考查数字的变化类，理解题意类比等式的性质是解题的关键．
幻方之美在于其内在的数学原理，在于其外在的完美形态，更在于它无穷无尽的变幻。每个幻方以整齐划一、均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学之美的光辉。如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。在种类上，更加可以细分为完全幻方、乘幻方、多阶幻方、高次幻方，以及反幻方等。当前，幻方已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。可以说，来自远古的幻方，将带领人类走向更高智能的未来。
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