如果一个大正方形能够分成有限大小各不相同、边长为整数的正方形，且彼此互不重叠也无空隙，那么就称这个大正方形为完美正方形。
14世纪，被誉为“英国诗歌之父”的乔叟在其著作中写了这样一个故事：美丽的伊丽莎白小姐向众多求婚者出了一道难题，要在正方形的礼盒里，除装入一根黄金尺条外，其余部分要用大小不一的各种珍贵的正方形木块镶满。最后一位聪明的王子，成功解出这道难题（如图所示）。
然而很显然，因为那根细长条的突兀存在，导致这个图形并不是完美正方形。这当然不能怪写这个故事的乔叟，因为在当时，即使数学家也无法找到完美正方形。一直到16世纪，意大利数学塔尔塔利亚对完美正方形做过深入探索，他把13×13的正方形分割成11个小正方形（如图所示）。你说说看，他的探索成功了吗？
很遗憾，这个图形中边长为1、3、6的正方形各有2个、边长为2的正方形有3个，并不符合正方形的边长各不相同这个条件，因此距离完美正方形还差一丢丢。
数学家们在构造完美正方形上屡屡碰壁，感觉希望渺茫，就转而去研究完美长方形。转眼到了1925年，波兰有一位数学家叫“莫伦”，他找到了两个完美长方形，一个可以分割成9个大小各不相同的正方形、另外一个可以分割成10个大小各不相同的正方形。
数学家们把一个完美正方形或完美长方形分割成大小不同的正方形的块数叫做阶数，比如分成9个大小不同的正方形就叫做9阶。下图是莫伦找到的9阶和10阶的两个完美长方形。
当时间的车轮到了1938年时，完美正方形问题终于取得了突破。完成这一壮举的是英国剑桥大学三一学院（这是剑桥大学规模最大、财力最雄厚、名声最响亮的学院之一，涌现出许多著名校友，如牛顿、拜伦、麦克斯韦、罗素、哈代、拉马努金）数学学会的几个年轻学生R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone 和 W. T. Tutte。这几个年轻学生灵光闪现，发现可以将这一个数学问题转化成等价的电路问题，利用中学生熟知的基尔霍夫定律就可以重构这个问题。这一天才的想法让他们打通了通往完美正方形的数学通道。
利用这个解题方法，这四名学生找到了很多完美长方形，并且专门列了一个表格来记录。其中就包括莫伦找到的那两个，同时还找了另外一个9阶的完美长方形，而且还证明了完美长方形最小阶就是9阶。他们没有满足于这个成果，而是继续努力，终于找到了第一个完美正方形，虽然这是一个庞然大物“69阶，即由69个大小不同的正方形构成”。然后他们继续改进，相继找到了38阶、26阶的完美正方形。后来，这四名学生当中有三人成为了数学家。
之后的1948年、1967年，其他数学家又分别作出了24阶、25阶的完美正方形。到了1978年，荷兰数学家A. J. W. Duijvestijn利用计算机找到了一个21阶的完美正方形，并且这是唯一的、阶数最小的完美正方形，同时他还证明了低于21阶的完美正方形并不存在。
后来剑桥大学的三一数学学会把这个最小的完美正方形拿去当作他们的会徽, 以此纪念当初研究完美正方形的那四名学生。
至此，完美正方形的讨论暂时告一段落，但是数学家们并未就此停下脚步，他们将完美剖分问题推广到其它领域，比如莫比乌斯环、克莱因瓶更精彩的数学发现或数学传奇，正等待着你们去书写。
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