第71回
滑雪平台，速度多少才安全
抛物线上，焦点准线为何物
话说第二天，悟空带着师父和两位师弟参观最近落成的花果山公园。
距离公园还有一段路程的时候，"花果山公园"五个烫金的大字就映入眼帘，显得十分气派。四周用铁栏杆围成，师徒四人一见就知道栏杆的顶部造型为多条抛物线顺次连接而成（如图1），每条抛物线最高点距离地面2米，最低的两端与地面的距离都是1．6米．八戒和沙僧的两人的身高都是1．9米，他们站在栏杆边时头部恰好靠在同一条抛物线上，此时两人的距离为恰好为2米．
"猴哥，公园的范围好大啊！"八戒问道。"光四周这些栏杆就有多长呢？"
"这个刚完工不久我还不知道。"悟空说，"我把负责设计和施工的严主任叫来问一下。"
不会儿严主任风尘仆仆赶来，他说："孙总，我只知道光栅栏上的抛物线装饰就装了3 000个，至于公园的周长嘛，你们不都是很能算吗？你们自己算吧。"
"每个抛物线栏杆的宽是多少米？"八戒问。
"每个抛物线的信息你们都知道了，你们也自己算吧。"严主任显然是在考他们。
"好，你不说我们自己算。"悟空说，"八戒，你算一下。"
"没问题。"八戒说，"先建立如图2的平面直角坐标系xOy。则点A、B到地面的距离都是1.6，所以顶点C到地面距离为2-1.6=0.4，所以顶点C的坐标为C（0，0.4）。
设我和沙师弟的头部分别在抛物线上的点D、E处，则D、E到地面的距离都是1.9，所以点D、E的纵坐标都是1.9-1.6=0.3。
因为DE=2，D、E关于y轴对称，所以D到y轴距离为1，所以点D的坐标为D(-1，0.3)。
设抛物线解析式为y=ax2 0.4，
把点D（-1，0.3）代入，得
0.3=a 0.4，a=-0.1.
所以抛物线为y=-0.1x2 0.4，
当y=0时，-0.1x2 0.4=0，解得x=±2，所以A（-2，0），B（2，0），
所以AB=2-（-2）=4。
所以公园的周长为4×3 000=12 000（米）。"
"大师兄，这公园挺大的啊！"沙僧感叹说，"光是沿着四周走一圈就得走12公里路啊！"
"是的。按照孙总的指示，公园是依山而建的，里面许多原始地形地貌都保留不动。"严主任说，"山顶上还建一个滑雪场呢。"
"还有滑雪场？"八戒兴奋地说，"沙师弟，咱们上去练一下？"
"好啊，二师兄。"
"你俩别急，咱们一起乘坐缆车上去。"
师徒四人和严主任到了山顶，大家在一处高考落下的雪道上驻足观望。严主任拿出一张图纸介绍说："如图3是大家眼前所见轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=k/x（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，经过几次实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间（秒）的平方成正比，且t=1时h=5；M，A的水平距离是vt米．"
"猴哥，如果我以每秒5米的速度离开平台点A落下，需要几秒才能到达滑道呢？"听完严主任介绍后八戒根据自己平时速跑的速度问道。
"要想知道答案就要先求你落下时经过的路线与滑道的交点M的坐标，再根据M、A的垂直距离与落下时间的关系求时间。"悟空说，"因此，需要先求你落下时经过的路线——抛物线与滑道双曲线的解析式。"
"求这两个解析式没问题。"八戒说，"由题意，点A的坐标为（1，18），所以k=1×18=18，所以滑道的解析式为y=18/x(x>0)．
因为M，A的竖直距离h（米）与飞出时间（秒）的平方成正比，
所以设h=at2，
因为当t=1时h=5，所以5=a×1,a=5，
所以h=5t2.
当v=5时，A、M的水平距为vt=5t，竖直距离h=5t2，
所以点M的坐标为M（1 5t，18-5t2），
由x=1 5t，得t= (x-1)/5，代入y=18-5t2，得y=18-5×[(x-1)/5]2，
整理，得y=-(x-1)2/5 18．
联立y=18/x和y=-(x-1)2/5 18，
消去y，得18/x=-(x-1)2/5 18，
去分母，得90=-x(x-1)2 90x，
整理，得x(x-1)2-90x 90=0，
即x(x-1)2-90(x-1)=0，
因式分解，得(x-1)[x(x-1)-90]=0，
所以x-1=0或x(x-1)-90=0，
由x-1=0，得x=1；
由x(x-1)-90=0，得x2-x-90=0，
解得x=10或x=-9，
因为x>0，所以x=1或x=10，
当x=10时，y=1.8，
所以抛物线与双曲线除点A（1，0）外，另一个交点坐标为（10，1.8）。
所以M、A的垂直距离h=18-1.8=16.2，
所以5t2=16.2，t2=3.24，t=1.8.
所以如果以每秒5米的速度离开平台点A落下，需要1.8秒才能到达滑道。"
"平台跳跃滑雪是许多人追求的刺激运动。"师父问道，"悟空，你有没有注意到如果两人争先恐后从平台上同时滑下，为了安全起见，必须规定两人的速度不能太接近。否则很容易发生两人碰撞导致伤残？"
"唐长老说的太对了。"严主任说，"这个问题我虽然注意到了，但两人的速度应该相差多少才安全正想请教孙总呢？"
"悟空，由于滑雪的速度太快，为了保证安全，当速度较慢的人落到滑道上时，速度较快的人应在另一个人的前面水平距离至少4.5米。"师父对沙僧说，"比如说八戒离开平台的速度是每秒5米，悟净你如果想跟他一起跳，你的速度最少应该是多少呢？"
"这个简单。"沙僧说，"二师兄以每秒5米的速度跳下，1.8秒后落地，此时他飞出的水平距离是5×1.8=9（米）。设我的速度为每秒m米，
当t=1.8时，飞出的水平距离为vt=m×1.8=1.8m(米)，依题意，得
1.8m≥9 4.5，解得m≥7.5（米/秒）．
所以为了确保安全，我的速度至少应该为每秒7.5米。"
解决完滑雪道问题后，五人爬到了最高处。严主任指着一个刚安装好的探照灯说："这个探照灯的功率特别大，可以照到公园的每个角落，晚上一开，照向哪里哪里亮。"
孙悟空走进一看，这个探照灯的轴截面是如图3的抛物线y= x2/4 1。
"抛物面（由抛物线沿对称轴旋转360°形成的曲面）有一个很神奇的性质。"师父说，"这个性质就是：从抛物面的焦点发出的光线经过抛物面的反射后，光线都沿着平行于对称轴的直线射出，把散光线变成了平行光线，使光线照得更远、更亮。所以只要把发光体安装在焦点处，就可以得到一束平行光。探照灯就是根据这个原理构造出来的。"
"师父说的这个原理事实上是来自抛物线一个神秘的性质。"悟空补充说，"这个性质是：对于任何一条抛物线，总存在一条与对称轴垂直的直线l，使得抛物线上任何一点P到该直线的距离与到焦点F的距离相等，这条直线l叫做抛物线的准线。"
"抛物线的焦点在什么位置呢？"八戒问，"还有，如何求准线方程和焦点坐标呢？"
"根据抛物线的对称性，焦点一定是在对称轴上。对于任何求抛物线的准线方程和焦点坐标？"悟空说，"我们以y=x2/4 1这条抛物线为例来探索一下吧。
首先设准线l的方程为y=m，焦点F坐标为F（0，n），再设P（t，t2/4 1）是抛物线上任意一个点，根据准线和焦点关系列出方程。八戒，你来试一下吧？"
"P到直线l:y=m的距离是| t2/4 1-m|，
P到点F的距离是√[t2 (t2/4 1-n)2]。"
八戒说，"所以| t2/4 1-m|=√[t2 (t2/4 1-n)2]。
两边平方，得：(t2/4 1-m)2=t2 (t2/4 1-n)2.
接下来怎么办呢？"
"二师兄，把这个方程整理、化简一下吧。"沙僧说，"但这也太繁杂了。"
"直接化简的确有点复杂。"悟空说，"采用换元法。设t2/4 1=s，则t2=4s-4，方程就可以化为：(s-m)2=4s-4 (s-n)2.
八戒，你再来试试。"
"化简这个就简单多了。"八戒说，"去括号，得：
s2-2ms m2=4s-4 s2-2ns n2，
移项、合并同类项，得：
(2n-2m-4)s (m2-n2 4)=0，
因为m、n的值与t的值无关，而s=t2/4 1，所以m、n的值与s无关，
所以2n-2m-4=0，且m2-n2 4=0，
即m-n=-2且(m n)(m-n)=-4，
所以(m n)×(-2)=-4，m n=2，
所以m=0，n=2.
所以准线方程为y=0，焦点F的坐标为(0，2)。"
欲知后事如何？请看下回分解。
,
