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世界三大数学猜想即：费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
(1) 费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成，遂称费马大定理；
(2) 哥德巴赫猜想尚未解决，最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家；
(3) 四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔与哈肯借助计算机完成，遂称四色定理。
难易指数：★★★★★
适宜对象：数学兴趣班
本期编号：D00091
世界三大数学猜想
(一) 欧拉猜想(又称费马大定理)
1、内容
当整数n > 2时，关于x、y、z的不定方程 x^n y^n = z^n 无正整数解。或者是当∀b>2时，n-1∑aⁿi无正整数解。
2、简介
怀尔斯和费马大定理
这个定理，本来又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1994年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
3、起源
1621年，20岁的费马在阅读一套公元三世纪希腊著名数学家丢番图的《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁关于不定方程x2 y2=z2的全部正整数解这一页上写了一段话，概括起来说就是：“形如xn yn=zn的方程，当n>2时不可能有整数解。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。但谁也没有得到普遍的证明方法，三百年多年来，无数学者为了证明这个猜想付出了巨大的精力，但既不能证明又不能否定它。
（二）哥德巴赫猜想
1、猜想
史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了一个大胆的猜想：任何不小于3的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2 2 3，当时1仍属于质数）。
同年，6月30日，欧拉在回信中提出了另一个版本的哥德巴赫猜想：任何偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2 2。当时1仍属于质数）。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，前者是后者的推论。因此，只需证明后者就能证明前者。所以称前者为弱哥德巴赫猜想（已被证明），后者为强哥德巴赫猜想。
由于1已经不归为质数，所以这两个猜想分别变为任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和的形式；任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和的形式。
猜想手稿
2、简述
欧拉在给哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。
从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。
我们从6=3 3、8=3 5、10=5 5、……、100=3 97=11 89=17 83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。
有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。
20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。
1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
希尔伯特23问，解决其中任何一个，你就是名副其实的数学家
3、证明进程
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9 9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9 9”是怎么回事呢？所谓“9 9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。” 从这个“9 9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1 1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7 7”。很快，“6 6”、“5 5”、“4 4”和“3 3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了“2 3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1 5”，同年又和王元合作证明了“1 4”。1965年，苏联数学家证明了“1 3”。
1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1 2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1 1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1 1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
（三）四色定理
四色问题的内容是：“任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
四色猜想
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
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