高中数学椭圆求离心率（求椭圆的焦半径）

问题：设是椭圆

上一点，和

分别是点M与点

的距离。求证

，其中e是离心率。（人教版《数学》第二册（上）P₁₃₃）

椭圆上任一点M与焦点F₁或F₂的距离

，叫做椭圆的焦半径，也称为左焦半径，为右焦半径。

一、焦半径的求解思路

思路1：由椭圆的定义有：

故只要设法用

等表示出

（或

），问题就可迎刃而解。

由题意知

，

两式相减得

联立<1>、<2>解得：

在

与中，

前的符号不表示正、负，真正的正、负由

确定。

思路2：设焦点

则

，即

另有

<2>÷<1>得：

<1>、<3>联立解得：

把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。

思路3：推敲

的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中

理应代换。

由点M在椭圆上，易知

则

由

，知

故

同理

上述思路体现了先消元

转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与

，容易推出

（

时取得），

（

时取得）。

思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线

，作MH⊥于H点

则

即

同理可求得：

应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点

的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆

上任一点的两条焦半径（

）。

二、焦半径的应用

应用焦半径公式易于分析椭圆上的点与焦点连成的线段，尤其是两条焦半径与焦距围成的三角形，或是焦半径与准线相关联等问题。

例1. 在椭圆

上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。（人教版《数学》第二册（上）P₁₃₂）

解析：设所求点

由

得：

又

即

解得：

代入椭圆方程得：

故所求点M为（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2. 点P是椭圆

上一点，

是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，

为椭圆的右焦点，直线

的斜率为

，求

的面积。（人教版《数学》第二册（上）P₁₃₃）

解析：设点P的横坐标为x，

由条件

，得：

依题意得：

所以

由

得：

故

例2也可先求直线方程

，与已知椭圆方程联立，解二元二次方程组求出点P的纵坐标y，则

。

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