【分析方法导引】
在有关圆的问题中，如果不考虑有关线段之间的数量关系时，就应想到要应用与圆有关的角的基本图形进行证明。
当几何问题中出现了同一个圆上的四点时，就可以想到应用圆周角的基本图形进行证明。接下来就应分析问题中出现的所要研究和讨论的角是出现在圆内接四边形的内角或外角上，还是出现在同弧所对的圆周角上。若出现在圆内接四边形的内角或外角上，则添圆内接四边形的边而不必连对角线，然后应用对角的互补关系或外角与内对角的等量关系来完成证明。若出现在同弧所对的圆周角上，则添加两条对角线而不必添一组对边，然后应用同弧所对圆周角的等量关系完成分析。
当几何问题中出现了圆的直径和半圆上的一点或者出现了90°的圆周角时，就可想到要应用半圆上的圆周角的基本图形进行分析。如有直径和半圆上的点而没有圆周角时，应将半圆上的点与直径的两端点分别连接；如有90°的圆周角而没有直径时，应联结圆周角的两边与圆的交点，而这条连线必定过圆心，也就必定是圆的直径。接下来就可以应用直角三角形的性质完成分析。
图4-24
分析：本题要证明HE⊥BC，根据垂线的定义，它们应相交成90°角，所以应首先将它们延长到相交，也即延长HE交BC于K，然后应证∠HKC=90°（如图4-25）
图4-25
由条件HF⊥AC，∠HFC=90°，问题就成为应证∠HKC=∠HFC=90°，从而就可应用圆周角的基本图形的性质进行证明。这样问题就成为应证H、F、K、C四点共圆，进一步也就是要证∠FHK=∠FCK（如图4-26）。由于∠FCK是⊙O的一个圆周角，而已知A、B、C、D四点共圆，所以有∠ACB=∠ADB，于是问题又转化成要证∠FHK=∠ADB。
图4-26
再由条件F、G分别是AE、DE的中点，是多个中点问题，所以可应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明。由于F、G所在的线段EA、ED有公共端点E，可以组成三角形，所以FG这两个中点的连线就是三角形的中位线，而现在图形中是有三角形而没有中位线，所以应将中位线添上，于是联结FG（如图4-27），即可得FG∥AD，那么又有∠ADB=∠FGE，问题也就成为要证∠FHK=∠FGE，这样也就要证H、F、E、G四点共圆，而由条件∠HFE=∠HGE=90°，这个性质就可以证明。
图4-27
例12 如图4-28，已知：AB、CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，E、F分别是OD、OA上的两点，OE=OF，BE、DF的延长线交⊙O于H、G，BH、DG相交于K。求证：OK⊥DH。
图4-28
分析：由条件OE=OF和OE⊥OF，可知OE、OF可组成一个等腰直角三角形或半个正方形。又因为OB=OD、OB⊥OD，所以OB、OD也组成半个正方形。从而就出现了两个具有公共顶点O的正方形，于是就可应用旋转型的全等三角形的性质进行证明。根据由公共顶点O发出的四条线段找全等三角形的方法可找到这对全等三角形应是△DFO和△BEO（如图4-29），于是就有∠ODF=∠OBE。由这两个角相等就可得B、D、K、O四点共圆，于是就可以应用圆周角的基本图形的性质进行证明。这样就可以先将圆内接四边形添全，也就是联结BD（如图4-30），可得∠KBD=∠KOD。但∠KBD是圆周角，而∠KOD是圆心角，这两个角之间的等量关系就可以转化为它们所对的弧之间的倍半关系。由于∠KBD所对的弧是弧HD，而∠KOD所对的弧在图形中尚未出现，这是因为∠KOD的一边OK尚未与圆相交，所以可根据圆心角的定义延长OK交⊙O于M，得∠KOD所对的弧是弧MD，从而可得弧MD=1/2弧HD，也就是M是弧DH的中点（如图4-31）。由于在这里出现了弧的中点的性质，所以再应用垂径定理，就可以证明OK⊥DH。
图4-29
图4-30
图4-31
往期文章回顾~
基本图形分析法：面对圆周角的几何问题应该如何思考（五）
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