从前，有一个穷光棍，平时只知好吃懒做，不肯踏踏实实做事情，还经常想入非非做发财梦。一天，他在路边捡到一个鸡蛋，他非常高兴，捧着鸡蛋就在脑子里就盘算开了："我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡，等小鸡长大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成鸡，这些鸡又可以生更多的蛋，蛋又可变成更多的鸡……过不了几年，我就可以把蛋和鸡去换许多钱，然后可以盖新房，还可以娶个漂亮媳妇，生儿育女……"他越想越高兴，不禁得意忘形手舞足蹈，忽听"啪"的一声，鸡蛋掉在地上，碎了！懒汉看着摔碎了的鸡蛋，放声痛哭："哎呀，我的宝贝！我的房子呀！……"
上面这则笑话流传已久，对我们很有教育意义，然而恐怕谁都没有认真计算过：如果鸡蛋没有打碎，几年后这个懒汉究竟有多少只鸡，多少个蛋呢？不过公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波拉契（Fibonacci，约1170－1250？）在他的《算盘全书》（这里的"算盘"指的是计算用沙盘）中提出过一个"养兔问题"，却被无数人算过。这道题说的是：
某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔。再过一个月，大兔生了一对小兔，以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔。如此下去，问一年后此人共有多少对兔子？
你能算清吗？不少同学恐怕看完题就已经动手算了，而且很快就算出了答案。不过对不对可不敢保证。说实在的，这题要算对并不那么容易，这可要不慌不忙细心地算才行。
1.中世纪最伟大的西方数学家的兔子引出超级数列通常可以列一个表来算这个题：
填了几行后，你就可以总结出几条结论：
（1）每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数。（因上个月的小兔这个月都长成大兔）
（2）每个月的小兔子数就是上个月的大兔数。（因上月大兔子这个月都需生一对小兔，而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子。）由（1）可知：每月小兔数就是前月的兔子总数。
（3）每月兔子总数是当月大、小兔子数的和。由（1）、（2）知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和。
若记第n个月的兔子数为fn，就有
f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4……
一般的，有fn-2＋fn-1=fn。有了这个规律，填这个表就很容易了。
你看，养一对兔子，一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了。
按这个规律，可以把兔子数一直写下去：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……。
这样得出的一列数就称为"斐波拉契数列。"
波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：
一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？这恰好也可以得到"斐波那契数"。
在斐波纳契向西方引入现代数字之后，仍然需要引入一些符号来将算术转换为现代符号。这些曾经是：
· 德国数学家约翰内斯·威德曼于1489年引入的加号（ ）和减号（-）。
· 威尔士数学家罗伯特·雷科德在1557年引入的等号（=）。
· 乘法符号（x）由英国数学家威廉·奥特雷德在1631年引入。
· 分数符号（÷）由瑞士数学家约翰拉恩于1659年在他的着作蒂彻代数学中引入。
2. 超级数列孕育着大自然的神奇永无止境人们从"斐"数出发得到了很多有益的和有趣的结果。比如"斐"数与黄金分割（0.618）的关系，直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用；又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了"斐"数，乃至好多植物的花瓣叶序上发现的"斐"数奇观形成了至今未解的"叶序之迷"。可见一个"养兔问题"竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘。
自古以来，人类就从植物中看到了数学特征：花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起，有些植物的种子是圆的，有些呈刺状，有些则是轻巧的伞状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1) F(n-2)（n≥2，n∈N*）它广泛存于在现代物理、准晶体结构、化学等领域，列昂纳多·斐波那契（1170---1250）是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他也是斐波那契数列的发明者，一个不平凡的意大利数学家。美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波纳契数列方面的研究成果。
你看， 向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此镶嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字就是斐波那契数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘绕的线数，后一个数字是逆时针盘绕的线数。
还有，雏菊的花盘也有类似的数学模式，只不过数字略小一些，菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片。常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行，美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行……
如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞片数，那么为什么斐波那契数列会与此如此的巧合?这也是植物在大自然中长期适应和进化的结果。因为植物所显示的数学特征是植物生长在动态过程中必然会产生的结果，它受到数学规律的严格约束，换句话说，植物离不开斐波那契数列，就像盐的晶体必然具有立方体的形状一样。由于该数列中的数值越靠后越大，因此两个相邻的数字之商将越来越接近O．618034这个值，例如34／55=O．6182，已经与之接近，这个比值的准确极限是"黄金数"。
车前草是西安地见的一种小草，它那轮生的叶片间的夹角正好是137·5。按照这一角度排列的叶片，能很好地镶嵌而又互不重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度地获得阳光，从而有效地提高植物光合作用的效率。数学中，有一个称为黄金角的数值是137．5。，这是圆的黄金分割的张角，更精确的值应该是137．50776。。与黄金数一样，黄金角同样受到植物的青睐。137.5°有何奇妙之处呢？如果我们用黄金分割率0.618 来划分360°的圆周，所得角度约等于222.5°。而在整个圆周内，与222.5°角相对应的外角就是137.5°。所以137.5°角是圆的黄金分割角，也叫黄金角。经科学家实验证明，植物之所以会按照黄金角——137.5°排列它们的叶子或果实，是地球磁力场对植物长期影响而造成的。
3.超级数列的植物模型带来的模拟应用建筑师们参照车前草叶片排列的数学模型，设计出了新颖的螺旋式高楼，最佳的采光效果使得高楼的每个房间都很明亮。1979年，英国科学家沃格尔用大小相同的许多圆点代表向日葵花盘中的种子，根据斐波那契数列的规则，尽可能紧密地将这些圆点挤压在一起，他用计算机模拟向日葵的结果显示，若发散角小于137．5。，那么花盘上就会出现间隙，且只能看到一组螺旋线；若发散角大于137．5。，花盘上也会出现间隙，而此时又会看到另一组螺旋线。只有当发散角等于黄金角时，花盘上才呈现彼此紧密镶合的两组螺旋线。
所以，向日葵等植物在生长过程中，只有选择这种数学模式，花盘上种子的分布才最为有效，花盘也变得最坚固壮实，产生后代的几率也最高。这也是植物在大自然中长期适应和进化的结果。
科学家在对三叶草、垂柳、睡莲、常青藤等植物进行了认真的观察和研究之后，发现植物之所以拥有优美的造型，在于它们和特定的"曲线方程"有着密切的关系。其中用来描绘花叶外孢轮廓的曲线称作"玫瑰形线"，植物的螺旋状缠绕茎取名为"生命螺旋线"。 笛卡儿，法国17 世纪著名的数学家，以创立坐标法而享有盛誉。他在研究了一簇花瓣和叶子的曲线特征之后，列出了"x3 y3-3axy=0"的曲线方程式，准确形象地揭示了植物叶子和花朵的形态所包含的数学规律性。这个曲线方程取名为"笛卡儿叶线"或"叶形线"，又称作"茉莉花瓣曲线"。如果将参数a 的值加以变换，便可描绘出不同叶子或者花瓣的外形图。
不仅花成为数学家描述的对象, 而且植物的叶也成为数学家研究的材料。19 世纪, 德国数学家勒· 哈柏尼赫特从事了这方面的工作。他的研究成果都发表在《叶形分析》一书中, 得到了能够确切地表示三叶草、酸模、常春藤、械树和柳树等植物叶片的方程。特别是白花醉浆草, 俗称三叶草, 许多大自然的爱好者都认识它, 哈柏尼赫用方程式表示出来。在极坐标中, 根据这个方程画出了醉浆草叶片形状。另一位数学家缪格尔完成了表示水生观赏植物睡莲叶片的数学方程, 。在极坐标中, 这个方程是个椭圆, 被称为" 缪格尔椭圆" 。研究这些曲线有没有实际意义呢? 可以肯定地回答, 所有这些曲线的研究在数学与技术的发展中起到过不小的作用。例如: 蔷薇花是描述某些机械装置的点轨迹的模式, 说明蔷薇花与旋轮线之间的关系; 对数螺旋线的性质已在某些机械(如切草机的旋转刀) 和水利技术(如通向水轮机的水管)得到很好的应用。
4. 由斐波那契数列，得到最美曲线—"黄金螺旋"根据斐波那契数列，可以画出斐波那契螺旋线，也称为黄金螺旋线。
在上图中，中间的两个小正方形边长都为1，从这两个正方形出发，沿着顺时针方向画出一些四分之一扇形，这些扇形的半径长度就符合斐波那契数列。
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）。它的通项公式可以写为：
斐波那契数列频繁的出现在我们日常的生活中，比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀、黄金矩形、黄金分割、等角螺线、十二平均律等。
（1）.排列组合.
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种
（2）.数列中相邻两项的前项比后项的极限.
就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n 1)的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1 √5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
（3）.求递推数列a(1)=1,a(n 1)=1 1/a(n).的通项公式.
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n 1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
参考文献：1. 红豆居士，震撼心灵的几何之美——斐波那契数列；
2.山右，神奇的植物与数学------斐波那契数列
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