【考试要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

【知识梳理】

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(1)

3.数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

(1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

【微点提醒】

1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=

2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.

3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(2)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(3)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(4)

考点一 由数列的前几项求数列的通项

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(5)

【规律方法】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(6)

考点二 由an与Sn的关系求通项

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(7)

【规律方法】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=①当n=1时,a1若适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;②当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(8)

考点三 由数列的递推关系求通项

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(9)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(10)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(11)

【规律方法】

由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.

(2)已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an.

(3)已知a1,且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可用待定系数法确定),可转化为{an+k}为等比数列.

(4)形如an+1=(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

【易错警示】 本例(1),(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(12)

考点四 数列的性质

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(13)

【规律方法】1.在数学命题中,以数列为载体,常考查周期性、单调性.

2.(1)研究数列的周期性,常由条件求出数列的前几项,确定周期性,进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an+1的大小,常用比差或比商法进行判断.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(14)

【反思与感悟】

1.数列是特殊的函数,要利用函数的观点认识数列.

2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法:

(1)算出前几项,再归纳、猜想.

(2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列.

(3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为=f(n)型,则采用累乘法.

【易错防范】

1.解决数列问题应注意三点

(1)在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.

(2)数列的通项公式不一定唯一.

(3)注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.

2.数列{an}中,若an最大,则an≥an-1且an≥an+1;若an最小,则an≤an-1且an≤an+1.

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(15)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(16)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(17)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(18)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(19)

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数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(21)

数列的概念和简单表示法(数列的概念及简单表示法)(22)

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