本文是清华大学薛金鑫教授作题为“美国数学的开端—Birkhoff”的讲座的讲稿。薛金鑫教授从Birkhoff的成长环境、研究问题、成名作讲起，探讨了学者进行科学研究的意志品质、好的数学的评价、做学问、做人的气质和精神。
1、美国数学的开端—Birkhoff
首先欢迎大家来到清华大学，加入我们的领军人才项目（即清华大学丘成桐数学科学领军人才培养计划）。这是中国数学史无前例的一个项目。丘先生安排我给大家讲Birkhoff（伯克霍夫），我感觉责任重大，因为Birkhoff是一个极具象征意义的数学家。我希望能和大家分享我自己对于Birkhoff和领军计划的认识，希望能对大家有所启发。
Birkhoff是美国本土培养的第一个世界级的大数学家。在他之前，美国也有一些其他的数学家，但都是在欧洲受的教育，而且成就没有Birkhoff那样大。我们来看一下Birkhoff对美国数学有多大的影响。在Math Genealogy网站上记录着他有46个学生，10587个徒子徒孙。这是一个庞大的数字，我们可以简单地算一下。美国排名前100的学校，假设每个学校数学系有100个faculty，那么总共是10000个faculty。虽然这样算误差很大，因为这10587并不都在学术界，而且美国的数学家总数多于10000人，但是，仍然可以看出，Birkhoff对今天的美国数学有着巨大的影响力。
今天的美国数学有多强呢？我们再来看一下这个Fields奖得主国家的排名。我们看到榜单上的前三甲是美国法国俄国。中国在哪呢？告诉大家，中国这个数字是零。
但是我们要知道， 美国的数学不是从一开始就很强大的。不仅如此，俄国数学也不是一开始就强大的。在100年前Kolmogorov横空出世之前，没有人知道俄国数学后来会如此强大。我们接下来看一下Birkhoff成名的时代背景。Birkhoff的成名作是1912年解决了Poincaré最后几何定理，这一年他28岁，是他博士毕业第五年，刚刚进入哈佛大学做助理教授。我们清华大学成立于1911年，现在正是我们110周年校庆的时候。1894年，中国发生的事情是甲午战争，这一年，美国工业产值超过英国成为世界第一。1913年，就是一战前一年，美国的工业产值超过英德法日之和。但是，这个时候美国的综合国力并没有达到世界第一。当时大英帝国的殖民地仍然遍及全球，大英帝国的舰队仍然在各大洋自由航行。美国真正取代英国成为世界霸主是这样一个时间节点，1944年，二战快结束，英国被打残，布雷顿森林会议之后，美元取代英镑成为世界货币。而英国的彻底衰落应该是这个时间节点。1956年，苏伊士运河危机。
2010年，中国工业产值超越美国成为世界第一。2018年超过美日德三国之和。我们清华现在的世界排名比较保险的是世界前20。现在的清华之于哈佛，正如1912年的哈佛之于牛津剑桥。中国现在面临产业升级，作为基础科学根本的数学，必然会也必须要长足发展。百年未有之大变局，对数学也是如此，我们也将见证和参与中国数学大发展的时代。我们接下来将会有极大的概率成为数学强国，引领世界潮流，当然也有可能就像中国足球那样找不到出路。当前这个时间节点，了解下Birkhoff对我们来说可能有重要的价值。
2、Birkhoff成名作：Poincaré最后几何定理我们接下来看一下Birkhoff的成名作：Poincaré最后几何定理。要讲这项工作之前，我们先来了解下Poincaré。Poincaré(庞加莱)生于1854年，卒于1912年。与Hilbert（希尔伯特）齐名，被称为是数学史上最后的全才数学家。其工作遍及数学和物理各个领域。发表过500多篇论文和30本专著。我简单列一下他的几项成就，当然远远不能概括他工作的全貌。首先，他建立了现代拓扑学，引入同伦论同调论，并提出著名的Poincaré猜想，这一个猜想产生了Smale, Freedman, Perelman三个Fields medalists。第二， 他建立了微分方程定性理论并极大推进三体问题的研究。第三，发现狭义相对论，发现质能方程，提出引力波的概念，等等。殊为难得的是，Poincaré还是位了不起的哲学家。他不仅是法兰西科学院的院士，也是法兰西文学院的院士。这个法兰西文学院在法国有崇高的地位，只有四十个人，前面的人去世了后面的人才能递补，很多大文豪终其一生都没有机会入选。这个学院其中一个任务是净化法语，规定新词的拼写和发音，所以我们现在看到法语非常严谨和规范。在哲学史和数学史上，Poincaré是直觉主义的代表，要知道我们现在的数学越来越抽象，Poincaré更强调数学中直觉的作用。他写过几本哲学书包括《科学与假设》等，有着重要的影响。
Poincaré从年轻的时候开始就非常关心天体力学。天体力学是个古老的学科。我们都知道，开普勒发现了行星运动三大定律，其中第一条就是行星按照椭圆轨道绕太阳运行。接下来，牛顿创立一个无所不包的力学体系和微积分。在这个体系下，他写下两体问题的运动方程，并成功求解，证明了开普勒三定律。牛顿力学和微积分的成功，产生一个决定论的哲学，认为世界如同一架钟表，过去和将来的一切都完全确定。牛顿也试着考虑三体问题，他虽然发现三体问题极其困难，但是从来没有怀疑过三体问题可以类似两体问题那样求解，即找到足够多的守恒量。这种决定论的世界观在西方历史上影响深远，到拿破仑时代，拉普拉斯把这个决定论的观念说了出来，现在称为拉普拉斯妖：我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。如果上帝能知道某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，假如他也能够对这些数据进行分析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动都会包含在一条简单公式中。对于上帝来说没有事物会是含糊的，而未来只会像过去般出现在他面前。在Poincaré开始他在三体问题上的工作的时候，他也是相信这种观念的。Poincaré年轻的时候参加了挪威和瑞典国王奥斯卡二世设立的一个竞赛，他选择了研究三体问题，并写了一篇论文“证明”了三体问题的可解性，也获得了这个奖。但是，后来他发现他文章里面有个致命错误，是他认为一个复杂的图像(同宿纠缠)不可能发生，但事实上确实会发生。他意识到这个图像的存在会导致三体问题的不可解 （即不可积性）。所以他不得不把包含已经发表的论文的期刊回购，销毁，重印正确的论文。Poincaré发现的这件事情现在称为混沌(Chaos)。这一发现终结了自牛顿以来的决定论的世界观，拯救了自由意志。因为照Poincaré的发现，任意初始的误差，无论多小，时间足够长之后，误差将会被放大到很大，导致解不可预测。一个例子就是天气预报，虽然我们现代计算机的算力很强，但是一个星期之后的天气预报就非常的不准了。
Poincaré对三体问题的兴趣伴随他终生。Poincaré最后几何定理是这样的一个定理。
1912年，Poincaré在临终之前，提出这个结果，但是他当时已经没有精力去证明这个定理了。他把他思考的内容写成一篇文章发表，我们现在可以看到，他在文章中验证了多种情况。他自己自然是很清楚这个结果的重要性。这一结果如果获证，将意味着(限制性)三体问题存在周期轨。这个结果把一个分析学的问题，即微分方程周期轨的存在的问题，转化成一个拓扑学的问题。而且存在两个不动点这件事情，相对于之前的不动点定理，也是非常新奇的。要知道，存在周期轨对研究天体力学来说是非常重要的，如果我们地球的自转和公转没有周期性的话，我们人类的时间观念将会完全的不同。Poincaré逝世之后三个月，年仅28岁的Birkhoff就证明了这个定理，并迅速获得世界级的认可。
数学家是个职业，这种一战成名的情况还是很难得的。让我们设想一下回到Birkhoff的位置，看看他当时需要做什么，作为我们从这件事情中学到的lesson。我想第一件事情就是价值判断。为科学研究者，我们需要能够对一个数学的猜想或结果评判其价值，并决定精力的投入。价值判断涉及情感因素，只有找到触及灵魂的课题才值得全身心的投入。这个价值判断有其客观的标准，也有主观认知和情感差异。这个主观和客观我们可以举个例子。丘先生自传中讲到他做卡拉比猜想，中间遇上困难，陈省身先生跟他讲，数学中猜想多如牛毛，你何必对这个猜想如此执着。第二件事情，我想是勇气。当时Birkhoff初出茅庐，而Poincaré是声明卓著的大师，如果Birkhoff要是想连Poincaré都解决不掉的问题，为什么自己能解决掉，那这件事就跟他没有关系了。孟子讲，“自反而缩，虽千万人，吾往矣”。要知道，那个时候Poincaré的论文从法国传到美国可能已经经历了一个月，大家都知道这个问题是重要的，有意义的，而且能带来荣耀的，同时尝试想解决这个问题的人，一定不在少数。这个时候最需要的就是这种面对千军万马，而能一往无前的勇气。第三，是自身的业务能力。有迅速解决战斗的能力，这来自于基本功的积累和迅速学习新知识的能力。最后，健康的身体也至关重要。Birkhoff说他做这项工作的几个月中减了30磅，差不多是30斤。要知道，做数学的过程需要高度的专注，要克服内心的恐惧，还要跟竞争者抢时间，面临来自各个方面的压力。所以，请大家一定好好锻炼身体，为祖国健康工作五十年。
这个Poincaré最后几何定理是个重要的结果，所以，不会是个孤零零的结果，而是有深远的影响。后续工作里面最重要的是Arnold猜想。大约过了半个多世纪，俄国数学家Arnold重新考虑Poincaré最后几何定理。他是这样想的：把两个圆环粘起来，形成一个轮胎面，Poincaré-Birkhoff意味着有四个不动点。所以，Arnold猜想：一个闭流形上的哈密顿微分同胚，其非退化不动点个数，不少于流形上的一般的函数的临界点个数。对这一猜想的研究，诞生了新的数学领域——辛几何，成为现在非常活跃的一个数学领域。
3、遍历定理我们接下来讲Birkhoff的另外一项工作，遍历定理。如果说Birkhoff证明Poincaré最后几何定理的工作是解决困难的问题的话，那么遍历定理就算是开创了一个新的领域。这一次，Birkhoff是跟另外一个数学家von Neumann一起的。
我们先来认识一下von Neumann。von Neumann生于1903年，卒于1957年，是匈牙利籍犹太人。我简单列举一下他的几项重要贡献：第一台现代计算机ENIAC的理论基础，现代博弈论，算子理论和量子力学，参与原子弹研制 (也因此罹患癌症)，等等。
遍历性这一概念来自于统计力学。我们知道三体问题已经无法求解了。统计力学想研究的对象是气体，这里面有大量的气体分子。如果追踪每个粒子的微观运动，这是个不可能完成的任务。所以，统计力学寻求研究宏观的状态，比如温度这样的量。
我们看这张图。
假设蓝色气体速度慢，温度低，红色气体速度快，温度高，拉开中间挡板，我们知道，两种气体会混合成为同一的温度。这是统计力学想描述的过程。但是如果仍然采取经典的观点的话，Poincaré证明了一个神奇的定理叫Poincaré回归定理，说的是，只要时间够长，这个系统基本上还要回到左边的状态。有意思的是，大约同一时间，尼采在哲学上提出个永恒轮回的概念(1881)：“这人生，如你现在经历和曾经经历的，你将在依次并无数次地经历它；其中没有新东西，却是每种痛苦和每种快乐，每种思想和每种叹息，以及你生涯一切不可言说的渺小和伟大，生存的永恒沙漏将不断重新流转，而你这微尘的微尘与它相随。”
统计力学研究气体的宏观状态，需要一个遍历假设，基本上是说这个气体的系统会跑遍所有可能的状态。遍历性的严格数学定义如下， 令是一个保体积的映射，如果对任意的集合A满足，则A为0体积。 所以，我们看到遍历性即是说，没有不变的正测度且不是全测度的子集，如果忽略掉零测度。在这个遍历假设下，在统计力学上可以做一个操作，即时间平均=空间平均, 多次实验的均值与理论计算吻合。
我们熟悉概率论里的大数定律：扔硬币的时候，我们虽然没法预测下一次硬币是正面还是反面，但是我们知道扔硬币足够多次，将会呈现正面反面各一半的分布。 所以现实中，我们不需要做扔硬币的操作，直接用概率分布来做计算，即是用空间平均代替时间平均。
虽然源于物理，但是在Neumann和Birkhoff证明了遍历定理之后，遍历论就成为一个数学的学科，并产生了意想不到的应用。我们来看个例子。
考虑1, 2, 4, 8, …, 2ⁿ, … 这个数列。问在前N个数中，以5打头的数占的比例，在N→∞的时候的极限是多少。
把这种想法升级之后有更重大的结果。比如Green-Tao定理：素数中包含任意长的等差数列，这是拿Fields奖的工作，就用到遍历论。用遍历论证明数论定理，始于Furstenberg。他证明了一个多重回归定理，给出Szemerédi定理的遍历论证明，并获得了Wolf奖 Abel奖。Szemerédi定理是这样一个定理：自然数的正密度子集(比如正偶数密度为1/2)，包含任意长的等差数列，这是获得Abel奖的工作。
Neumann和Birkhoff联手开创了遍历论这一领域。但是中间故事有波折。我找到一篇文章专门研究这件事情的本末：
Joseph D. Zund， George David Birkhoff and John von Neumann: A Question of Priority and the Ergodic Theorems, 1931–1932， Historia Mathematica 29 (2002), 138–156。我接下来的内容将基于这篇文章。故事是这样的。1931年，Neumann首先证明了平均意义下的收敛性。Birkhoff知道了Neumann的结果，并随后证明了更强的点态意义下的收敛性。结果Birkhoff的论文 1931年12月发表于Proceeding National Academy of Sciences，Neumann的论文于1932年1月发表在同一个杂志，比Birkhoff晚了一个月。这个时候，Neumann 28岁，初到美国，而Birkhoff 47岁，已经达到事业和声望的顶峰。Birkhoff的文章中提到Neumann的工作(important recent work, not yet published)，但是Neumann认为Birkhoff没有把前因后果写清楚，所以找很多人评理。在Zund这个文章里面有Neumann写给另一个人的信件抱怨这个事情。两个人因为优先权的问题发生了这个争执。因为大家将很快进入科研，本科阶段发表论文在我们清华已经发生，以后将可能成为经常的事情。所以我简单给大家介绍一下论文发表的过程。论文写好之后，需要找个杂志投过去，这个时候杂志的编委将会找个人来审稿。这个审稿过程是匿名的，就是你不知道审稿人是谁。所以这个过程很容易变成黑暗森林。Birkhoff和Neumann这件事就是这么发生的。根据Zund的文章，他们投稿的那个杂志的执行编委是Wilson，这个人是Birkhoff的狂热的粉丝。
4、寄语与启示Birkhoff的故事就讲这么多，我想接下来说一下我自己的一些思考，希望能对大家有所启发。首先， 好的数学和物理学代表着观念升级（Paradiagm shift），西方历史上，每一次数学和物理的大发展，都带来人们观念上的冲击，并推动产业发展，比如牛顿力学和微积分之于第一次工业革命，电磁学之于第二次工业革命等。我们中国虽然有灿烂的文明，有祖冲之圆周率这样的工作，我们仍然要清楚，这跟牛顿爱因斯坦那样的工作并不是同一个量级的。
我们现在需要做的第一件事情是重估一切价值。这句话我引自尼采，虽然过去一百年，对我们仍然有非常重要的意义。做科研与读书考试非常不同。考试的话，拿过一张卷子，上面的题目，你们没有价值判断的机会，即使题目出得再烂，也得去做，不做就没分。但是做科研的时候，我们需要对课题进行价值判断。首先，我们需要打破偶像崇拜。数学是使人增长智慧的，而不是盲从和迷信。媒体经常会对某些人和事做夸大的宣传，但我们没有道理莫名崇拜别人，对别人好的工作，我们可以深入了解之后表示尊重。要做好重估一切价值这件事情，根本的尺度来自自己内心。孟子讲：“万物皆备于我矣，反身求诚，乐莫大焉”。如果我们每个人从读书的时候开始，对每一个定理和证明有一个严格的价值判断，我们做科研的时候，看别人的文章，也有一个价值判断的话，这样，时间长一点之后，我们就能建立我们自己的学术评价体系和良性生态。我们现在国内很看重所谓的四大顶级杂志，也没有一个自己的高质量期刊。当然这可能是我们中国数学发展到这个阶段的必经之路，但是这肯定是不正常的状态，因为我们把价值判断的权力交给了老外。当我们自己证明了一个定理的时候，我们自己无法评判定理的价值，而是要在国外的杂志发出来，我们给杂志排名，才知道定理的好坏。中国数学要强大，必然需要我们自己有价值评判的能力。
我们面前的事业是光荣的，但是也是任重道远的。为什么是我们来做这件事情呢？我们清华的校训是自强不息，厚德载物，这两句话来自易传。我简单说下我自己的理解。自强不息，字面上的意思很清楚。我们举个不是自强不息的例子，就是中国足球，现在在打归化球员的主意。美国数学还可以靠来自欧洲甚至世界的移民，但是我们不行，我们没有别的办法，我们只能自强不息。接下来说到厚德载物，我们要联系一下Birkhoff和Neumann的这个故事。人都有私心，但是智商高的人可能把这聪明劲拿来满足自己的私欲，而容易掉进一个精致的利己主义者的陷阱。一个数学定理，往往伴随着利益，名声，财富等。数学的发展，局部上时常呈现零和博弈的状态，就是总量一定，你拿得多我就拿得少。但是长远和宏观来看，数学是要产生出新的确定性的知识。一个人，如果是一个零和的观点的话，就容易陷入内卷，自然追逐利益，不免损人，但是如果老是损人，就再没人跟你玩了。如果新的财富不断被创造出来，一个人，能通过自己的努力，给别人带来好处，就会获得别人真正的尊重，有更多的人愿意围绕在你身边把事业做得更大。
很多人的观念里面以为我们清华是一个工科学校，我们只懂技术而没有理想主义。其实这是误解。我们校园里面二校门后面有一块王国维先生的纪念碑，碑文由陈寅恪所撰，两人同列清华建校初的国学院四导师。我引用一段碑文：“先生之著述，或有时而不章；先生之学说，或有时而可商，惟此独立之精神，自由之思想，历千万祀，与天壤而同久，共三光而永光。” 我们如果要把数学做到引领世界潮流，最需要的就是这独立之精神自由之思想。所以，请大家千万不要妄自菲薄。
既然我们清华要做这样的事情， 接下来，请大家每个人都问一下自己，为什么不是我？ 我引用孟子的一段话和司马迁的一段话。
孟子：“昔者禹抑洪水而天下平，周公兼夷狄驱猛兽而百姓宁，孔子成《春秋》而乱臣贼子惧。我亦欲正人心，息邪说，距诐行，放淫辞，以承三圣者。”
司马迁：“自周公卒五百岁而有孔子。孔子卒后至于今五百岁，有能绍明世、正《易传》，继《春秋》、本《诗》《书》《礼》《乐》之际？意在斯乎！意在斯乎！小子何敢让焉！”
我们要知道，虽然孟子现在看是圣人，在他活跃的年代，他其实只是个普通人，没有贵族身份，地位不能跟战国四公子相比，而司马迁，因为受了宫刑，在当时更没有社会地位了。但是他们都对自己的工作有着坦荡的信心，并在自己的工作中获得了不朽。
最后呢，给大家列一下参考文献，主要是丘先生这本哈佛数学150年的书。大家可以在里面看到Birkhoff更多的工作。这本书里面有一句话我觉得很重要，拿出来给大家分享。是Birkhoff去世之后，他的同事Veblen对他的评价，说他有一种Religious devotion to American mathematics， even went too far exhibiting extreme nationalism。以Birkhoff的成就，他当时完全可以到数学更好的欧洲，比如牛津剑桥去找一个位置，但是他没有，他留在美国，亲手开启了美国数学的辉煌时代。
本文转载自公众号《清华大学丘成桐数学科学中心》
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