1°曲线存在的范围
把F(x,y) = 0理解为x、y之间的隐函数形式,那么从方程F(x,y) = 0中分别解出x与y,按照确定定义域的方法分别求x、y的允许值范围.从而确定方程的曲线存在的范围.
2°曲线的对称性
( i)如果方程F(x,y) = 0在x,y的允许值范围内恒有F(x,y) = F(-x,y) ,则其曲线C关于y轴对称.
( ii)如果方程F(x,y) = 0在x,y的允许值范围内恒有F(x,y) = F(x, -y) ,则其曲线C关于x轴对称.
(i)如果方程F(x,y) = 0在x,y的允许值范围内恒有F(x,y) = F(-x, -y) ,则其曲线C关于原点对称.
类似地,如果方程F(x,y) = 0在x,y的允许值范围内恒有F(x,y) = F(y,x), 则其曲线C关于直线y = x对称.
3°曲线在x,y轴上的截距
因为x轴的方程为y = 0,
所以方程F(x,0) = 0的解为其曲线C在x轴上的截距.
因为y轴的方程为x = 0,所以方程F(0,y) = 0的解为其曲线在y轴上的截距.
有关曲线方程的若干定理定理1
两曲线f1(x,y) =0，f2(x,y) =0的交点坐标必为方程组
的实数解,其逆亦真.
定理2
两曲线γ =f(x),y = φ(x)的交点的横坐标必为方程f(x) = φ(x) 的实根.其逆亦真.
定理 3
方程F(x,y) = f1(x,y)f2(x,)..fn(x,y)= 0的曲线是x,y的共同取值范围内的f1(x,y) = 0,f2(x,y) =0，. ...fn(x,y) = 0的曲线的全体.
定理4
方程f1(x,y) λf2(x,y) = 0(λ为任意实常数)的曲线必过两曲线f1(x,y) =0,f2(x,y) =0的所有交点. .
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