这是1=0.999...系列文章的第三篇，本篇是把上一篇中讨论一个典型错误后面的证明内容单独放到这里，方便大家阅读。
同时还增加了一节根据物理学知识的推理。
那么如何证明0.999...=1，或者0.3333...=1/3呢？
初等数学的证明就不用了，这里引用几个极其简单，但不是那么严谨的证明。
1.利用极限的唯一性首先，0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的极限，或者
0.999...是序列｛0.9， 0.99，0.999，...｝的极限
其次1是0.333...x3的极限，或者0.999...的极限。
根据极限的唯一性，所以1=0.999...
同济大学版高等数学上册
2.假设法假设1≠0.999...之间还有其他的数，那么1与0.999...的差必然是0.0000...01
但是因为减数有无限多位9，所以差里也必然有无限多个0，0.000...，无穷多个0，永远没有机会写最后的1，所以这个差只能是0
这里估计很多人看了会觉得别扭，反直觉，这是因为实数相等的判定和日常，7=7这样整数判定方式不同，因为实数是稠密的，完备的，连续的。
实数轴是没有空隙，任意两个确定的实数的关系要么是大于，小于，要么等于，没有其他。两个不相等的实数中间必然还有其他实数，而如果两个实数之间没有其它实数了，则他们必然相等。
3，根据实数相等的定义
两个实数相等的判定，不是“数轴上它们都是第102个点，所以相等”这样的方式，因为实数是稠密的，连续的，完备的，而是：
你可以想象它们的差是任意一个很小很小很小的正数，注意是任意的。然而不管这个差有多小，如果都还能再找到一个确定的位数N，它们在比较到这个第N位时达到了你给定的这个小差，然后，我都能告诉你，如果继续接着算到第N位以后，这两个实数的差比你任意给的那个小差还要小，如果这个小差不管取什么值都是这样的结果，那这两个实数就相等。
简单说就是，不管你觉得它们的差有多小（确定的有限），我都能告诉你实际比你想的还要小（因为是无限）。
所以，事实并不是如和很多人所想“因为无限接近，它们就肯定不能相等”，这样朴素的直观感觉，而是有严格逻辑的。而这正是数学无穷小危机已经解决了的问题。
其实无限接近并不是没达到，而是已经严格相等了（见上面的解释），否则如果达不到的话，阿基里斯就永远追不上乌龟了，而事实是在有限的时间内乌龟就被追上了，当然你还可以搬出普朗克，说空间是不连续的，然而实数相等的定义也解决了这个追乌龟问题，文章下面一节会提到一个根据物理知识的推理，讨论一下物理世界里1如何等于0.999...。
引用网友的证明
4，利用戴德金分割证明
现代物理学认为空间和时间都不是无限可分的，不是连续的，而是存在最小的长度，即普朗克长度（数量级为10的-35次方），和最短的时间间隔，即普朗克时间（数量级为10的-43次方）。
假定1≠0.999...
- 在纸上画出一段表示数轴的线段，
- 然后放大0.999...与1之间的差，
- 当你放大到第35个9与1的差之后，就会发现，表示数轴的那段空间已经不能再细分了，这个时候这段空间0.999...已经和1重和在一起，成为一个点了。这个时候在现实中1与0.999...已经相等了
- 然后不看空间而再回到数轴上，既然现实不能用了，还能利用头脑中抽象的思维：数学概念里，空间是连续的，表示实数轴的那条线是连续的，在这条线上你还可以继续放大和细分下去。
- 从第36个9开始，表示1和0.999.的差就已经在现实里不存在了，而数学上的差比这个“不存在”还要小，而且还能比这个还要小，其他任意还小得多。
- 这个思路其实与前面实数相等的判断是一致的，甚至可以说是一个具体的例子，估计很多人可能没想到这个任意小来的这么快，1-0.999...的差，只数了35个9就遇到现实了这堵高墙。
我知道，无论怎么讲解，还是会有很多人会一直坚信1与0.999...就是不相等，在下一篇文章里，我会来个简单粗暴的：
直接告诉你教材里是如何白纸黑字写着1就是0.999...
,
