作者：孟子杨（中科院物理所研究员）
游踪之三
今年（2018年）的壮游从德国南部巴伐利亚州首府慕尼黑开始。同行的伙伴增加到了5人，其中两位博士后（马女森博士和从德国来到北京加入我们的 Stephan Humeniuk 博士），还有二度壮游的陈闯和一年级的 PhD 学生潘高培。整个行程为期三周。
Fig.4. 慕尼黑的形胜。巴伐利亚洋葱头的教堂、市政厅的尖顶，还有远处的白雪覆盖的阿尔卑斯山脉。（图片来自 wikipedia）
在我们去访问的那一周因为慕尼黑有冠军杯足球赛，城中的酒店不好安排。我们的host 慕尼黑工业大学的 Frank Pollmann 教授（他已从德雷斯顿搬到了这里）只得把我们的酒店安排在市郊慕尼黑工大附近的村子里，这样去工大和 Frank 讨论自然方便，但是到城里观光就要坐地铁了，好在德国的城市都不大，就算慕尼黑这样的地方，在来自北京的朋友看来，在出行方面花去的时间仍是可以忽略不计的。
酒店在小村子里，外面就是大片的田野，笔者在北京时总苦恼于无处去户外长跑，不想到此处却遂了心愿。每天讨论后，朋友们热情邀请晚饭，却总被笔者无礼地回绝，实在是想要去跑步。在德国秋天的田野里，傍晚时候乘着风出去跑几公里，看着夕阳西下，寒鸦在空中盘旋，村庄中升起的袅袅烟气，肃穆的景观让人沉静下来，暂时忘记了日常的琐屑和烦恼，可以思考一些人生中真正重要的问题。想得出神时，天不知不觉黑了下来，澄澈高远的天空中开始出现点点星辰，这才想起多久没有见过星空了。相比于此刻的静与深沉，我们国内的环境实在太过嘈杂以至于狂躁了 [21]。
讨论自然是不可少的，Frank 的团队也开始在 DMRG 的框架下进行自旋系统的动力学计算，这和我们近两年来运用量子蒙特卡洛和随机解析延拓的方法计算量子磁学系统的动力学性质的做法 [21, 22] 不谋而合。对于以阻挫磁体和量子自旋液体为代表的量子物质科学新范式，说到底还是要能拿出材料实现和实验中可以观测到的信号。动力学计算（如自旋激发谱）不论运用量子蒙特卡洛方法还是运用 DMRG 方法，现在已经开始在相对实际的模型中得到严格的结果 [21, 22]。这样的进步一方面弥补了过于抽象的理论让大多数实验物理、化学家无法看懂的尴尬现实，另一方面也矫正了许多过于简单的平均场计算不负责任地恣意预言对于领域产生的负面效果。对于复杂的阻挫磁体模型，数值计算得到的能谱，可以和中子散射、核磁共振、RIXS 散射等等实验进行对比。对称性的分数化、任意子凝聚等等抽象的现象，都已经通过计算得到了谱学行为的预言 [17, 21, 22]。数值计算、场论分析和谱学实验的合奏，正在拉开序幕。
也是在慕尼黑，我们还访问了城中的慕尼黑大学，一周之前刚刚在上海见过的 Lode Pollet 教授热情地招待了我们。在整个下午的讨论中，其组内的中国博士后刘科给笔者留下了深刻的印象，除了物理学内容之外，其身上的古风在现在的环境中显得尤为可贵。同行的 Stephan Humeniuk 博士，正是在这所大学完成了本科阶段的学习，多年之后以中国代表团的身份重游故地，即怀旧又新鲜，也是别有一番滋味吧。
告别了慕尼黑，我们分为三路。马女森、陈闯、潘高培赴维尔兹堡，先去与 Assaad 教授小组讨论交流，Stephan 回巴登符腾堡州南部的老家探望父母，笔者则南下奥地利因斯布鲁克访问师兄 Thomas Lang 博士和 Andreas Laeuchli 教授小组，三天之后5人再会合在维尔兹堡。因斯布鲁克 (Innsbruck) 是阿尔卑斯大山怀抱中的历史名城，神圣罗马帝国皇帝查理五世建筑的著名的金屋顶就在此。因 (Inn) 河穿城而过故名之（Innsbruck 意思就是 Inn 上的桥），城市在山谷之中，两旁皆阿尔卑斯山高大的山峰，壁立千尺，松石嶙峋，山顶白雪覆盖。笔者到达时已是夜晚，丰沛的山风沿着川道一刻不停地吹拂着，凉却不冷，河里流水发出温柔的声响，河边树影在灯下婆娑，沿河的建筑都应该有百年的历史，也在灯光的明暗交替中显得更加妩媚。遥想当年壮游路上疲惫的士子们来的此处，见到此情此景，怎能不被浪漫主义的情怀所打动呢？
Thomas Lang 和 Andreas Laeuchli 教授亦是笔者多年的朋友，Andreas 是量子多体问题严格对角化的绝对专家，而 Thomas 最近的一个量子蒙特卡洛工作 [23] 更是深得我心。如前文所说，近几年来运用量子蒙特卡洛等大规模数值计算方法和运用场论（包括共型场论）重整化群等解析方法的两个领域在解决量子多体和量子临界行为的问题上，有逐步融合的趋势。这种有益的融合使得我们这些数值计算工作者逐步意识到之前一个没有注意到的问题，即当我们研究量子临界行为时，长期以来的做法是从一个微观模型出发（比如 Hubbard 模型），通过逐步增大微观模型的尺度，逼近热力学极限。但是我们之前没有足够重视的是，系统的临界行为只被低能自由度所决定，而这些低能自由度，对于微观晶格模型来说，往往具有涌现的性质，即它们并不是（或者不完全是）微观晶格模型中的自由度，应该想办法抓住这些真正重要的低能自由度，而不是盲目地增大微观模型的晶格尺度。
Fig.5. 阿尔卑斯山谷中的因斯布鲁克。因 (Inn) 河水静静地流淌，河边的房子都有数百年的历史，房子背后是皑皑雪山。（图片来自 wikipedia）
以现在人们比较关心的相互作用Dirac 费米子的相变为例，其实这里真正重要的是具有线性色散的 Dirac 费米子与临界玻色子涨落耦合之后的结果（术语叫 Chiral Gross-Neveu-Yukawa criticalities），而大家平常用来模拟的 graphene 六角晶格或者 pi-flux 正方晶格模型，其实在布里渊区里只有很少一部分费米子模式处在线性色散的区域内，大部分的高能自由度并没有参与临界过程，也就是说，其实大部分的计算资源都浪费在了这些不重要的自由度之上。这就使得一直以来大家比拼的微观模型晶格大小，比拼的各国超算平台的计算能力，类似这样的比较，对于与我们想要真正搞清楚的量子临界行为来说，显得不得要领甚至颇为可笑了。计算能力（各国超算在 top 500 list 上的位置）固然需要，但是模型的合理设计才是正道。Thomas 最近这个工作就是这样一剂正本清源的良药 [23]。他指出对于相互作用的 Dirac费米子问题，其实可以通过借鉴高能物理学家很早就设计出的 SLAC 费米子框架，使得大部分的费米子模式都处在线性色散的区域之内，如此一来，即使蒙特卡洛计算不使用很大的晶格，因为所有自由度皆临界，其效果仍然超过原来看似很大尺度 graphene 六角晶格的计算，计算资源得到了很大的节省，临界行为的有限尺度效应也得到了控制。这样的做法与之前的做法相比，打一个不恰当的比喻，好似工业文明和农耕文明在制造能力方面的对比，高下立见。
笔者与合作者在费米面与临界玻色子耦合的问题上，通过近几年的实践和思考，也提出了精神相似的鸸鹋算法 [12] （鸸鹋英文名 EMU，我们的算法英文名 EMUS-QMC: Elective Momentum Ultra-Size Quantum Monte Carlo Method, 简称 EMUS，故名之鸸鹋算法）。对于费米面和临界玻色子耦合的问题，只有费米面上少数几个模式（hot-spots）被临界玻色子联系起来，对于临界问题来说，只要把所有的计算资源集中到这几个点附近，增大这里的能量-动量的解析度，就可以抓住问题的本质，有效地提高对于临界行为的准确描述能力，而不用操心原本微观晶格模型中的高能自由度。其实场论模型就是这样设计的，这也就笔者前文所说，现在的数值计算物理学家，在凝聚态量子多体问题中已经开始直接模拟量子场论模型，通过模型设计和算法的进步 (自学习蒙特卡洛，SLAC 费米子，EMUS )，逐步克服以前微观模型的局限，明心见性，直指本心。我们的努力在解析计算领域也得到了回应，日前，明尼苏达大学的 Andrey Chubukov 教授（2018 年 John Bardeen Prize 获得者）专门在 Journal Club of Condensed Matter Physics 上，以 “Solving metallic quantum criticality in a casino” 撰文介绍了近年来量子蒙特卡洛领域在研究费米子量子临界问题上的进步 [24]。
因斯布鲁克短暂的逗留之后，笔者、Stephan 与其他三位已经先期到达维尔兹堡的同伴会合。一年之后又见 Assaad 教授和小组成员，融洽自不待言。在维尔兹堡，马女森报告了她最近在量子相变的奇异有限尺度标度行为 [25] 和去禁闭量子临界点的谱学行为 [19]，这两项优秀的量子蒙特卡洛模拟工作。亦如笔者在前文所述，去禁闭量子临界行为，做为量子物质科学新范式的代表，归根结底还是要与普通的量子临界点在实验观测信号上有所区分。女森最近的工作 [19]，就是通过自旋激发谱的计算，展示了去禁闭量子临界点上被释放出来的分数化自旋子所产生的连续谱，并且通过连续谱中权重的强弱变化，揭示了自旋子与演生规范场耦合的现象。这是演生物质场 （自旋子） 和演生规范场 （U(1)场） 耦合的实例，是高能物理学问题和凝聚态物理学问题具有本质联系的实例。其实在费米子模型中直接模拟类似的问题，人们也一直在考虑，包括我们自己。自2016年底开始，许霄琰、戚扬、笔者还有合作者们就开始尝试设计费米子和 U(1) 规范场耦合的模型，最后发现确实可以直接运用费米子蒙特卡洛方法计算偶数组分的费米子和 U(1) 规范场耦合的问题，得到了基本的相图 [26]。这一系列工作，正在逐步深入地进行下去。我们在慕尼黑、因斯布鲁克、维尔兹堡、亚琛等地的壮游之旅中与当地学者讨论这些认识和结果，都收获了热烈的反响。
此次在维尔兹堡，Fakher 安排我们住在城外一个安静古老的葡萄园小镇 Randersacker, 美因兹河在小镇边上静静流过。每天要爬上层层的葡萄园走到大学，在山顶上回望山谷，云气缭绕，如童话如梦幻。在河边或跑步或散步，时值深秋，午后的阳光中河边的树木抖落着金黄的叶子，在风中飘飘荡荡，让人明白了为什么大家总说“德国是一个秋天的童话”，也让人生发出望峰息心窥谷忘返的惆怅。
Fig.6. 亚琛的圣诞市场。姜饼人是当地的特产，背景里是中世纪时修建的市政厅。 （图片来自 wikipedia）
三周的旅行还是结束在亚琛，我们从秋天走进了冬天。就是在从维尔兹堡到亚琛的火车上，笔者和女森定稿了运用诺特定理研究去禁闭量子临界点的最新文章。在亚琛的讨论亦很到位，而且 Stefan Wessel 教授体贴的安排让已经在路上两周的我们得到了休息和恢复。亚琛的朋友们，物理所的故人韩兴杰博士，还有一年前来北京一探究竟的 Stephan Hesselmann，更带着我们几个饱食了两顿地道的中餐（吃得太多，以至于花了很长时间消化）。亚琛的最后一晚，圣诞市场开幕了，Stefan Wessel 教授带我们去体验，在热闹的人群中喝一杯热腾腾的 Gluehwein (热红酒)，友谊、感动、他乡、故园、历史、己身等等思绪都融化在一片绵长的氤氲之中。
余韵
我们的壮游已经走过了三年，收获和成绩已经在前面的叙述中层层展开，这里就不再讨论了。我想对于每个参与其中的伙伴，壮游的过程其实是小到生活自理、待人接物、适应环境等等能力，大到物理学、历史、文化的综合教育。二百年前新教国家的青年士子们在欧洲腹地的漫游中开阔眼界，寻找文明的起源，完成学养、胸怀和人格的教育。我们在德国、奥地利的三年漫游也有这样的意思在里面。从物理学的事业来讲，我们见到了这样一批欧洲人，他们依靠着自己强大的传统和独特的创造的方式进行着量子多体计算的研究，我们也像当年那些壮游路上的士子们一样，在吸收、消化和沉淀之后，正在努力着创造出属于自己的凝聚态物理学量子多体系统研究的文化，这样的过程已然开始。
科学研究是求知求真的过程。在我们自己的环境和风气中，每当看到追名逐利、虚伪欺诈的行为，包括自己被环境夹裹不得不违心行事时，笔者总会生出无力改变现实的挫败感。好在我们都在壮游的路上走过，追寻过真和美，在清醒的时候会常常提醒自己什么是事业中、人生中重要的东西。在这个意义上讲，我们将会继续追寻真和美，一如我们将会继续人生的壮游之路一样。
参考文献
[1] DFG Research Unit FOR1807 “Advanced Computational Methods for Strongly Correlated Quantum Systems”,
[2] Topological invariants for interacting topological insulators: I. Efficient numerical evaluation scheme and implementations,
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[3] Topological invariants for interacting topological insulators: II. Breakdown of the Green's function formalism,
Yuan-Yao He, Han-Qing Wu, Zi Yang Meng, Zhong-Yi Lu,
[4] Bona fide interaction-driven topological phase transition in correlated SPT states,
Yuan-Yao He, Han-Qing Wu, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Zi Yang Meng, Zhong-Yi Lu,
[5] Non-Fermi-liquid at (2 1)d ferromagnetic quantum critical point，
Xiao Yan Xu, Kai Sun, Yoni Schattner, Erez Berg, Zi Yang Meng,
[6] “认识你自己”——自学习蒙特卡洛三部曲，https://mp.weixin.qq.com/s/GVOZmAPj1e3HiJOTGr63Qw
[7] Self-Learning Monte Carlo Method,
Junwei Liu, Yang Qi, Zi Yang Meng, Liang Fu，
[8] Self-learning quantum Monte Carlo method in interacting fermion systems，
Xiao Yan Xu, Yang Qi, Junwei Liu, Liang Fu, Zi Yang Meng，
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[10] Topological phase transitions with SO(4) symmetry in (2 1)D interacting Dirac fermions，
Xiao Yan Xu, K. S. D. Beach, Kai Sun, F. F. Assaad, and Zi Yang Meng，
[11] Dynamical Generation of Topological Masses in Dirac Fermions，
Yuan-Yao He, Xiao Yan Xu, Kai Sun, Fakher F. Assaad, Zi Yang Meng, Zhong-Yi Lu，
[12] EMUS-QMC: Elective Momentum Ultra-Size Quantum Monte Carlo Method，
Zi Hong Liu, Xiao Yan Xu, Yang Qi, Kai Sun, Zi Yang Meng，
[13] Itinerant Quantum Critical Point with Fermion Pockets and Hot Spots，
Zi Hong Liu, Gaopei Pan, Xiao Yan Xu, Kai Sun, Zi Yang Meng，
[14] 西斯廷教堂中的对偶变换，
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[16] Nearly deconfined spinon excitations in the square-lattice spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet，
Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik，
[17] Dynamical Signature of Symmetry Fractionalization in Frustrated Magnets,
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[18] Dynamics of topological excitations in a model quantum spin ice,
Chun-Jiong Huang, Youjin Deng, Yuan Wan, Zi Yang Meng,
[19] Dynamical Signature of Fractionalization at the Deconfined Quantum Critical Point,
Nvsen Ma, Guang-Yu Sun, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Ashvin Vishwanath, Anders W. Sandvik, Zi Yang Meng,
[20] International Workshop on New Paradigms in Quantum Matter,
[21] 寂静春天里的动力学（上）、（下）
[22] 海森堡模型的谱，到底有多靠谱
[23] Quantum Monte Carlo simulation of the chiral Heisenberg Gross-Neveu-Yukawa phase transition with a single Dirac cone,
Thomas C. Lang, Andreas M. Laeuchli,
[24] Solving metallic quantum criticality in a casino,
Commentary by Andrey V Chubukov, on Jounral Club for Condensed Matter Physics,
[25] Anomalous Quantum-Critical Scaling Corrections in Two-Dimensional Antiferromagnets,
Nvsen Ma, Phillip Weinberg, Hui Shao, Wenan Guo, Dao-Xin Yao, and Anders W. Sandvik,
Phys. Rev. Lett. 121, 117202 (2018)
[26] Monte Carlo Study of Compact Quantum Electrodynamics with Fermionic Matter: the Parent State of Quantum Phases,
Xiao Yan Xu, Yang Qi, Long Zhang, Fakher F. Assaad, Cenke Xu, Zi Yang Meng,
致谢
能够完成这篇文字，首先要感谢德国研究基金会（DFG）给于笔者的 Mercator Fellow 的荣誉和经费支持，使得我们的壮游能够成行。还要感谢的是Research Unit FOR1807 “Advanced Computational Methods for Strongly Correlated Quantum Systems”，尤其是 Unit 的 Speaker 维尔兹堡大学的 Fakher Assaad 教授，他对于笔者和伙伴们的关怀与帮助，已经远远超出了职责允许的范围。做为亲切的师长，他在学问的精进，选择课题的品味，团队建设，待人接物等诸多方面，都是笔者的榜样。常常见到他从已经十分紧张的日程中腾挪出时间与笔者和壮游伙伴们畅谈，从容、幽默、优雅，欧陆优秀学者的风范历历在目。还有 Research Unit 中的其他诸位师友，Stefan Wessel 教授、Andreas Laeuchli 教授、Frank Pollmann 教授、Lode Pollet 教授、Thomas Lang 博士、Martin Hohenadler 博士 ...... , 正是有了与诸位的思想碰撞和交流，有了理解、吸收与传承，才使得我们仿佛当年壮游路上的士子们，完善着知识、品味和人格的教育。想到他们，总会让笔者忘记现实中的种种烦恼，再勉力创造属于自己的文化。
笔者还要特别感谢中科院物理所理论室的齐建为老师和室秘书李晶晶，每年出国繁杂的手续和机票都是由她们为我们安排妥当。笔者和伙伴们能够在壮游的路上受到教育，背后也有她们辛勤的付出。文章初稿完成后，笔者收到香港科技大学许霄琰博士关于内容的中肯建议和指出的几个时间节点上的错误，还有 Flatiron Institute 何院耀博士对于文章细节的建议，在这里一并感谢。
编辑：蓲阳
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