在19世纪末，有一款游戏曾风靡了美国、欧洲、澳大利亚和新西兰等地。游戏的名字叫15-puzzle，即所谓的“十五谜题”推盘游戏：它有一个排列成4×4的16宫格，其中15个格子中含有写有数字的可移动方块，还有一个格子是空的。解谜的方法是通过移动这些方块，对数字进行排序。这是一个经典的数学谜题，只有与空白格相邻的数字才可以移动。
○ 十五数字推盘游戏有15个数字方块和一个空位，游戏者需要移动方块，让所有方块上的数字按照次序排列。华容道游戏与此类似。| 图片来源：E. Bobrow et. al.
就在140年后的今天，这个游戏再次引发了人们的兴趣。不过这次，对它着迷的是一群物理学家，他们通过这个游戏，更近一步地理解了一个看似平常却复杂异常的谜题：磁铁的工作原理是什么？
我们对磁性材料并不陌生，铁和其他物质可以形成永磁体，就像能牢牢地粘在冰箱上的那种那样，这种磁体的磁性是源于一种叫做铁磁性的现象。
材料的磁性来自于内部电子的行为：每个电子像是一个微小的磁体，它们的磁场方向与各自的自旋直接相关。对于没有磁性的材料来说，原子中的电子是成对的，成对的电子总是有着相反的自旋方向，因此它们的磁场会彼此抵消，从而材料在整体不会表现出磁性。而对磁性材料来说，原子的最外层有一些未成对的电子，这些未成对的电子能产生微弱的磁场，从而让材料整体表现出磁性。
那么，这就是磁体运作原理的全部吗？
我们今天要着重说的，是一种特殊的铁磁性——巡游铁磁性（Itinerant ferromagnetism），它指的是在铁、钴、镍等金属中，电子可以在材料内部自由移动。每个电子同样有一个固有磁矩，要准确地理解所有的磁矩如何以及为何在一个磁体中排列，就需要计算所有电子之间的量子相互作用。这是非常复杂的，可以说，巡游铁磁性是理论凝聚态物理学中最难的问题之一。
而就在最近，十五谜题推盘游戏给了物理学家以灵感，让我们终于得以更加接近于解开这个难题。这位物理学家叫名叫李易，是约翰霍普金斯大学的一位从事凝聚态物理研究的助理教授。她带领两个研究生Eric Bobrow和Keaton Stubis，利用十五谜题推盘游戏中的数学，延伸扩展了一个描述理想情况下巡游铁磁性的定理，她们的定理可以解释更宽泛、更接近现实的系统。
面对错综复杂的问题，物理学家善于从最简单的理想化模型开始。李易等人想要从简单的理想模型中捕捉铁磁性的基本物理性质，他们的突破就建立在50多年前一个里程碑式的发现之上。
这是一个由物理学家David Thouless和Yosuke Nagaoka在20世纪60年代各自独立提出的证明，他们从数学的角度，解释了电子为何排列并形成铁磁状态，这一结果被称为Nagaoka-Thouless定理。
在介绍这个定理之前，我们需要先从最基础的层面上来看看金属中的电子所必须遵循的两个约束条件：
- 电子带负电，它们之间具有互相排斥的库伦力。
- 电子遵守泡利不相容原理，即：自旋相同的两个电子，不可以在一个原子周围占据同样的量子态；自旋相反的两个电子则可以。
要让一群自由运动的电子满足这两个条件，最简单的方法是让它们保持距离，让它们的自旋平行（对齐），从而形成铁磁性。
Nagaoka-Thouless定理就是依赖于原子晶格上的一个理想电子系统。这个定理到底说了什么呢？我们可以想象有一个二维的方形晶格：晶格中的每个顶点都可以容纳两个自旋相反的电子；但同时，这个定理又假设，两个电子同时占据一个位置所需耗费的能量是无穷大的，这样就确保了一个位置只有一个电子。这样一来，每个电子的自旋可以是向上或向下的，并不一定要方向一致，因此系统不一定具有铁磁性。
这时如果拿走其中一个电子，晶格中就会多出一个空位，我们称之为空穴（hole）。与之相邻的电子可以滑入这个空穴，留出另一个空位；然后另一个电子又可以占据这个新的空穴，再一次留出一个新的空穴……通过这种方式，空穴从一个位置跳到另一个位置，穿梭于晶格之中。
在这种情况下，只要添加一个空穴，电子就会自发地进行规则排列，这就是Thouless和Nagaoka所证明的系统的最低能量状态——铁磁态。
○ 在十五数字推盘游戏（左）中，用自旋为1/2的粒子替换数字，得到中图所表示的结构，其中 表示自旋向上，-表示自旋向下；右图是与此对应的自旋晶格，其中有一个空穴。| 图片来源：E. Bobrow et. al.
若要使这个系统维持在最低能量状态，空穴的自由穿梭必须要在不干扰电子自旋的情况下进行——这就需要额外的能量了。但是当空穴四处移动时，电子也会四处移动。因此若要使电子在不改变自旋的情况下移动，电子就必须规则排列。
这便是Nagaoka和Thouless对铁磁性的证明。从物理学的角度来看，它是不真实的：例如两个电子确实需要消耗巨大的能量才能克服彼此间的排斥力来占据同一个位置，但这个能量是有限的，而不是定理中所要求的无穷大；再者，这个定理只适用于简单的晶格，比如二维的方形、三角形晶格，或三维的立方体晶格，可自然界中的铁磁性存在于各种晶格结构各异的金属中。
尽管如此， Nagaoka-Thouless确实首次从理论上解释了电子自旋为什么应该保持平行。
物理学家认为，如果Nagaoka-Thouless定理真的解释了铁磁性，那么它应该适用于所有晶格。
1989年，日本物理学家Hal Tasaki对这个定理进行了一定程度的延伸。他发现，只要晶格中具有“连通性”这种数学性质，这个定理就能适用。比如说，在一个二维的方形晶格中有一个可移动的空穴，如果移动这个空穴，可以在维持自旋向上和向下的电子数量不变的同时，对每一个自旋进行创造，那么就满足连通性条件。
但问题在于，我们并不知道除了二维的正方形、三角形晶格，和三维立方体晶格之外，其他晶格结构是否也满足连通性条件。
因此在此基础上，李易和她的团队想要弄清的就是：这个定理是否适用于更一般的情况。
他们将研究对象锁定在蜂窝状的六角晶格上，在研究过程中，他们意识到这个问题类似和风靡19世纪的十五谜题推盘游戏迷之相似！只不过对他们来说，方块上的数字变成了向上或向下的自旋。如果可以让这些方块重新排列成任何序列，那么难题就解决了——这正是连通性条件的本质所在。
所以，问题“对于一个给定的晶格，连通性条件是否满足”就等价于问题“具有同样晶格结构的推盘游戏是否可解”。
结果，他们又惊喜地发现，早在1974年，数学家Richard Wilson就已经解决了这个问题！他已经成功地对具有所有结构的十五谜题推盘游戏进行推广：证明了只要滑动方块的次数为偶数，那么几乎对于所有的不可分割晶格（在移除一个顶点后，顶点仍然保持连接的晶格）来说，都可以通过滑动方块来得到任何想要的结构。唯二的例外是超过三个顶点的多边形，以及一种名为“θ₀图”的结构。
因此，研究人员可以直接将Wilson的证明结果应用于Nagaoka-Thouless定理。于是，他们证明了对于有单个空穴的电子系统，几乎所有晶格都满足连通性条件，包括二维六角形结构和三维菱形晶格等常见结构。而例外的那两种结构实际上并不会出现于真实的铁磁结构中。
就这样，李易等人通过十五谜题推盘游戏，将电子晶格与图论联系了起来。朝着解决巡游铁磁性的磁性原理问题迈进了重要的一步。虽然成果喜人，但也仍存在需要进一步解决的问题，其中之一便是当在晶格中移动的空穴的步数为奇数，Nagaoka-Thouless定理并不总是有效；而另一个更为突出的问题是，在这个定理只能存在一个空穴，不能多也不能少——但是在金属中的空穴可以非常多，有时甚至可以占据一半的晶格。
于是，研究人员将这个扩展过的定理推广到具有多个空穴的系统中去。计算结果表明，对于正方形晶格，当空穴占据晶格不超过30%时，Nagaoka和Thouless描述的铁磁性似乎仍是适用的。
在李易等人发表于《物理评论B》的论文中，他们精确地对二维六角晶格和三维菱形晶格进行了分析，得出的结果是：对于二维六角晶格和三维菱形晶格来说，只要空穴数量分别小于格点数量的1/2次方和2/5次方，铁磁性就应该可以存在。
这些精确的数字有助于科学家在今后建立一个更加完整的巡游铁磁性模型，从而帮助我们更深刻地理解磁铁的运作原理。
参考链接：
[1] https://www.quantamagazine.org/a-childs-puzzle-has-helped-unlock-the-secrets-of-magnetism-20190124/
[2] https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.98.180101
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