一道1985年巴尔干半岛的数学竞赛题
如图∠BAC=120°, AD和CE是角分线,交点为I,DE和BI的交点为Z, 求∠DAZ
解:在求解之前证明一个引理,如图:
如图可知:
BE/AE=BF/AS=asinα/b.sianα=a/b, (1)
即角分线分割对边的比例与其两边成比例,该定理的逆定理也成立,即满足比例相等的分割线一定是角分线。(推理1)
此外还需要证明一下对角线的公式,如下图,利用角分线分成的两个三角形面积等于三角形ABC的面积有:
若AD为x, 则:
cx/2sinα bx/2sinα=bc/2 sin2α
而sin2α=2sinαcosα
所以AD=x=2bc·cosα/(b c)
此题有:
因为A=120°,由此得:
这里还需要证明一个关系,如图:
利用正弦定理有:
BD/sinα=c/sinβ
DC/sinα=b/sin(180°-β)=b/sinβ
BD DC=b, BD/c=sinα/sinβ
由此推出:
再根据上面已经证明的:
所以:
上式的恒等利用了(1)的证明结果。
根据这个等式,我们按照上面得出的推理(1)可知DE是∠ADB的角分线,点Z是△ADB的内心(因为BI是角分线),因此∠DAZ=30°。
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