等积法在抛物线中的应用——2020年秋襄城区九年级数学期末第25题

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(1)

所谓等积法,是指构造面积相等的三角形,从而完成等量转换,以三角形面积计算公式为基础,如果两个三角形等底同高,或等高同底,那么这两个三角形面积相等。基本思路是在存在一对共底三角形的前提下,构造等高三角形,利用平行线间距离处处相等这一特性,通过作平行线达到目的;共高原理类似。

等积法和割补法同为解决面积类压轴题的有效方法,割补法有时也被称为铅垂法,各地老师取名不一,实质上都是将不规则图形面积化为规则图形面积求解。

题目

如图,抛物线y=ax² bx 2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=1/2,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当∠AFO=90°时,求D点的坐标;

(3)在x轴上有点G(3/2,0),连接GC、GD、CD,抛物线上是否存在点D,使得△GCD的面积被直线AC为为2:1两部分?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(2)

解析:

(1)利用中点公式求解本小题,设点A坐标为(2x,0),则点B坐标为(-x,0),它们的中点为(1/2,0),利用中点公式可得2x-x=1,解得x=1,于是A(2,0),B(-1,0),分别代入抛物线解析式中,求得a=-1,b=1,则解析式为y=-x² x 2;

(2)什么时候∠AFO=90°?首先观察△AOC,显然它是一个直角三角形,除此之外呢?点C坐标容易得到,(0,2),于是它还是一个等腰直角三角形,弄明白这个事实后,再回到刚才那个问题,就容易回答了,当点F在AC中点时,∠AFO=90°,此时点F坐标仍然可利用中点公式求得,为(1,1),即点D横坐标为1,将它代入抛物线解析式中,可得D(1,2),如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(3)

(3)我们先按要求作一个草图,探索是否存在点D,如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(4)

设CD与AC交点为Q,则△GCD被AC分成两部分,分别是△CDQ和△CGQ,题目并未明说2:1两部分是哪个三角形,所以要分两种情况,即S△CDQ:S△CGQ=2:1或S△CDQ:S△CGQ=1:2;

这两个三角形有一条公共边CQ,符合共底三角形特殊,这也是等积法的前提,△CGQ若以CQ为底,我们可作出它的高GH,如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(5)

由于前面已经证明△AOC是等腰直角三角形,于是∠OAC=45°,因此△AGH也是等腰直角三角形,AG=1/2,可求出GH=√2/4,即△CGQ中CQ边上的高为√2/4;

①若按S△CDQ:S△CGQ=2:1,则△CDQ的高为2GH=√2/2,我们可作一条与AC距离为√2/2的平行线,它与抛物线的交点即为点D,如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(6)

这条平行线与y轴交于点L,我们再过点C作CK⊥DL,由前面步骤可知CK=√2/2,等腰△AOC中,∠ACO=45°,则∠CLK=45°,可求出CL=1,我们可求出直线DL的解析式为y=-x 3,把它与抛物线联立得-x 3=-x² x 2,解得x1=x2=1,此时点D横坐标为1,即m=1;

②若按S△CDQ:S△CGQ=1:2,则△CDQ的高为1/2GH=√2/8,我们可用一条与AC距离为√2/8的平行线,它与抛物线的交点即为点D,如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(7)

方法与前一种情况类似,只不过CK=√2/8,CL=1/4,此时直线DL的解析式为y=-x 9/4,把它与抛物线联立得-x 9/4=-x² x 2,解得x1=1-√3/2,x2=1 √3/2,此时点D横坐标m为1-√3/2或1 √3/2,上图中作出了其中一个交点D,另一种情况如下图:

抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用(8)

综上所述,m有三个结果,分别是1,1-√3/2,1 √3/2.

解题反思

此题用割补法当然是可行的,只是无论过点D作垂线或是过点Q作垂线,在计算量上均不少,相对而言,等积法需要计算的都在特殊三角形中,本题中就出现了多次等腰直角三角形;

我们在平时讲题过程中,等积法的应用场景远不止求面积,它还能用于探索三角形存在性等,在多数情况下,它的光彩被割补法掩盖了,学生对作水平分割或垂直分割轻车熟路,因此极易形成思维定势,即使计算量会复杂,但在那一刻想不到新的方法,多数会坚持“死算”,这并不符合数学解题目的,解决数学问题,追求思路的简洁,这对于未来算法模型的研究有很大帮助。

毕竟数学讲究简洁之美。

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