昵称为“Zach”的读者朋友问到下面的问题:

左老师,这道题看了解析以后总觉得怪怪的,但是又没有强有力的证据支持我的想法,所以想问问您 .

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(1)

这道题有三点疑惑.

第(1)处那里,它是同时用了两个基本不等式.

请问,这里满足基本不等式中的“正、定、等”吗?

不是说相加或相乘要为定值吗?但(2x-1)*1也不为定值啊.

第(2)处那里.即便第(1)处没有问题,在连用两个基本不等式之后,已经是前一个式子的最小值,这里又再用一次基本不等式求最小值的最小值,合理吗?

第(3)处,因为用了三次基本不等式.当然要有三个当且仅当.

这样解虽然使用了基本不等式,但是右边的式子并不是定值,结果正确吗?

显然,当x=2时,(9-2x)x的值等于10>9,所以上面的解法错误.

错误是如何发生的呢?

我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=[(9-x)/2]^2的图象.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(2)

从上图我们能看出:随着x的变化,(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化,而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2.

而且,当9-2x=x即x=3时,(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.

这些都没有错.

但是来了.

但是取等号时的位置并不是取最值的位置.

怎样能保证取等号时就是最值呢?

答案是:必须定值!

看正确解法.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(3)

再看图象,我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=81/8的图象.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(4)

看出定值的好处来了吗?

因为是定值,它的图象是一条平行于x轴的直线,这样就保证了——f(x)的图象都在直线的下方,取等号的位置就是最值的问题.

最后就到了“等”的要求了.

无需多言,如果等号取不到,最值显然也取不到.

2

可以多步到达“定”,只要多个等号能同时取得

从上面的分析我们能看出,用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”,而且顺序都不能变——先要求"正",再要求"定",最后研究取等的条件是否满足.

当然,如果只是使用基本不等式研究两个变量的不等关系,只要明白“正”和“相等”就够了.

比如,我们只是比较0<x<9/2时,(9-2x)x与(9-x)^2/4的大小关系.

首先确定是否为正数.

然后使用基本不等式,知道(9-2x)x<=(9-x)^2/4.

最后我们确定,当9-2x=x即x=3时,二者相等.

这就为“定值”提供了另外一种路径——多步到达“定值”.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(5)

画出图来,是这样的感觉.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(6)

只要中间的两个等号能够同时取得,f(x)也能取得最小值.

所以,你提供的答案解析是可行的.

回到你的问题:如果中间的几个等号不能同时取得,怎么办?

那就说明,这个解法行不通,要换别的思路.

画出图来,就类似于这样.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(7)

从上图看出,两个取等条件不一致,所以最终取不到最值.

3

有无其它解法?

你问是否有易于理解的解法?

我想,你的意思是问,有没有一步到位的解法?

也有,但同时需要学一点基本不等式的拓展——从二元到多元.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(8)

上面的解法中,用到了四元的基本不等式.

实际上,基本不等式可拓展到n元.学霸筒子们可参考.

有绝对值的不等式要怎么求(基本不等式求最值为什么一定要)(9)

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