巧用两点间距离公式求最值

如何求两直线之间距离的最小值(巧用两点间距离公式求最值)(1)

在平面直角坐标系中,任意两点A(x1,y1)B(x2,y2)的距离是AB=√(x1-x2)² (y1-y2)²,也可以写成AB²=(x1-x2)² (y1-y2)²

,原理很简单,以AB为斜边,构造直角三角形,使其两直角边分别与坐标轴平行,利用勾股定理可得。

在学习过程中,不仅仅知道点坐标求距离,同时更需要将某个平方和看作两点间的距离,这种逆向思维往往就是解决难题的突破口。

题目

如图,点A、B、C均在坐标轴上,OA=OB=OC=1,过点A、O、C作圆D,点E是圆D上任意一点,连接CE、BE,则CE² BE²的最大值是_____________

如何求两直线之间距离的最小值(巧用两点间距离公式求最值)(2)

解析:

学生思考方向一:连接AB、AC,得到一个等腰直角三角形,发现AC是直径,又连接AE,得到Rt△ACE,于是将CE²转化成AE² AC²,其中AC²=2,因此得CE²=AE² 2,然而BE与CE的关联未建立,至此陷入困境;

学生思考方向二:连接OE,过点E向y轴作垂线,然后,就没有然后了;

学生思考方向三:过点E向x轴作垂线EF,构造双勾股模型,然而BF² CF²如何变化不得而知,思路卒。

以上三种思考方向或者更多类似的方向,无一不是仅从几何角度思考问题,但为什么在题目第一句描述中,要提到坐标系呢?这是否有什么暗示?

带着这样的疑问,我们可以尝试用点坐标来解决问题,既然点E是圆D上的动点,不妨设E(m,n),这样我们可以利用两点间距离公式来表示CE²和BE²,推导如下:

CE² BE²

=(m-1)² n² (m 1)² n²

=2m² 2 2n²

=2(m² n²) 2

观察上式,括号中的m² n²何时最大呢?

此时需要逆向思维,这个式子在图中是指哪条线段长?

为方便学生找到突破口,可将这个式子再次改写成(m-0)² (n-0)²,至少可看出是点E到原点的距离,即OE²=m² n²;

因此CE² BE²=2OE² 2,现在的任务是判断OE什么时候最长?

回到图中的圆D,OE是它的一条弦,根据圆内最长的弦是直径,只有当OE经过圆心时,它最长,如下图:

如何求两直线之间距离的最小值(巧用两点间距离公式求最值)(3)

图中的E'即所求位置,只要求出OE'的长度即可。

显然图中∠OCE'=90°,理由是直径所对的圆周角是直角,连接AC后,可证明它就是直径,所以可求出直径为√2,最后得到OE²=2,至此问题解决,CE² BE²最大值是6.

解题反思:

从学生实际遇到的困难来看,数形结合仍然不够熟练,或者说压根没有这个念头,这意味着在读题时,“点A、B、C均在坐标轴上”没理解。平时养成多问为什么的习惯,如果能问自己,为什么要所问题放在坐标系中,或许能更快找到思路。

最值问题的解决有很多条路可走,在给学生讲一类问题的时候,需要注意分析其本质属性,而不是表面属性。前者是为什么要用某种方法,后者就是看到关键词(图)就用某方法,教学时需要授人以渔而不是授人以鱼。

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